+ All documents
Home > Documents > Destya Dwi Damayanti - Repository Universitas Jember

Destya Dwi Damayanti - Repository Universitas Jember

Date post: 07-Jan-2023
Category:
Upload: khangminh22
View: 0 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
88
SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER ION HELIUM ( ) PADA BILANGAN KUANTUM DALAM REPRESENTASI RUANG MOMENTUM SKRIPSI Oleh: Destya Dwi Damayanti NIM. 160210102050 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER 2020 Digital Repository Universitas Jember Digital Repository Universitas Jember
Transcript

i

SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER ION HELIUM ( )

PADA BILANGAN KUANTUM DALAM

REPRESENTASI RUANG MOMENTUM

SKRIPSI

Oleh:

Destya Dwi Damayanti

NIM. 160210102050

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

2020

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

i

SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER ION HELIUM ( )

PADA BILANGAN KUANTUM DALAM

REPRESENTASI RUANG MOMENTUM

SKRIPSI

diajukan guna melengkapi tugas akhir dan memenuhi salah satu syarat

untuk menyelesaikan Program Studi Pendidikan Fisika (S1) dan

mencapai gelar sarjana pendidikan

Oleh:

Destya Dwi Damayanti

NIM. 160210102050

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

2020

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

ii

PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan untuk:

1. Kedua Orangtua saya Bapak Eka Muharam Suryadi dan Ibu Marsiati serta

kakak saya Rendra Rizqi Ramadhan dan Nur Rika Aprilyani yang selalu

memberikan motivasi, dukungan, dan juga doa dalam setiap langkah yang

saya lalui.

2. Guru-guru sejak saya duduk di bangku TK hingga perguruan tinggi yang

telah memberikan bimbingan dan juga ilmu yang bermanfaat.

3. Keluarga besar Program Studi Pendidikan Fisika khususnya angkatan 2016

yang selalu memberikan motivasi dan bantuan dalam hal apapun.

4. Almamater kebanggan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas

Jember.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

iii

MOTTO

“Success is no accident. It is hard work, perseverance, learning, studying,

sacrifice, and most of all, love of what you are doing or learning to do” – Pele1

1Shyam, G. 2018. Journey to Success & Significance. Chennai: Nation Press.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

iv

PERNYATAAN

Saya yang bertandatangan di bawah ini:

Nama : Destya Dwi Damayanti

NIM : 160210102050

Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang berjudul “Solusi

Persamaan Schrodinger Ion Helium pada Bilangan Kuantum dalam

Representasi Ruang Momentum” adalah benar-benar hasil karya sendiri, kecuali

kutipan yang telah saya sebutkan sumbernya, belum pernah diajukan pada instansi

manapun dan bukan karya jiplakan. Saya bertanggung jawab atas keabsahan dan

kebenaran isinya sesuai dengan sikap ilmiah yang harus dijunjung tinggi.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya, tanpa ada

tekanan dan paksaan dari pihak manapun serta bersedia mendapat sanksi

akademik jika ternyata dikemudian hari pernyataan ini tidak benar.

Jember, 10 Januari 2020

Yang menyatakan,

Destya Dwi Damayanti

NIM. 160210102050

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

v

SKRIPSI

SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER ION HELIUM ( ) PADA

BILANGAN KUANTUM DALAM REPRESENTASI RUANG

MOMENTUM

Oleh:

Destya Dwi Damayanti

NIM. 160210102050

Pembimbing:

Dosen Pembimbing Utama : Drs. Bambang Supriadi, M.Sc.

Dosen Pembimbing Anggota : Lailatul Nuraini, S.Pd., M.Pd.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

vi

PENGESAHAN

Skripsi berjudul “Solusi Persamaan Schrodinger Ion Helium pada

Bilangan Kuantum dalam Representasi Ruang Momentum” telah diuji dan

disahkan pada:

Hari, tanggal :

Tempat : Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Tim Penguji:

Ketua, Sekertaris,

Drs. Bambang Supriadi, M.Sc. Lailatul Nuraini, S.Pd., M.Pd.

NIP. 19680710 199302 1 001 NRP. 760016812

Anggota I Anggota II

Drs. Trapsilo Prihandono, M.Si. Drs. Alex Harijanto, M.Si.

NIP. 19620401 198702 1 001 NIP. 19641117 199103 1 001

Mengesahkan

Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Jember,

Prof. Drs. Dafik, M.Sc., Ph.D.

NIP. 19680802 199303 1 004

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

vii

RINGKASAN

Solusi Persamaan Schrodinger Ion Helium pada Bilangan

Kuantum dalam Representasi Ruang Momentum; Destya Dwi

Damayanti, 160210102050; 2019; 46 halaman; Program Studi Pendidikan Fisika,

Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan

dan Ilmu Pendidikan, Universitas Jember.

Gejala atom Hidrogen merupakan salah satu contoh dari perkembangan

teori mekanika kuantum. Selain atom Hidrogen dan juga isotopnya, ada beberapa

atom yang memiliki sifat hidrogenik yakni berelektron tunggal, salah satunya

yaitu Ion Helium ( ). Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji solusi

Persamaan Schrodinger Ion Helium ( ) pada bilangan kuantum dalam

representasi ruang momentum. Jenis penelitian ini adalah penelitian non

eksperimen dengan metode kajian teori mengenai mekanika kuantum khususnya

atom hidrogenik yang dikerjakan secara analitik. Pendekatan yang digunakan

pada penelitian ini adalah Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu

menggunakan koordinat bola. Metode Persamaan Schrodinger yang digunakan

adalah dengan metode separasi variabel dan normalisasi fungsi gelombang.

Persamaan Schrodinger merupakan persamaan differensial orde dua yang dapat

memberikan informasi mengenai perilaku sebuah partikel seperti elektron.

Persamaan ini harus memenuhi tiga syarat, yakni: memenuhi hukum kekekalan

energi, taat asas terhadap hipotesis de Broglie, dan harus berperilaku baik

(persamaan yang dihasilkan bernilai tunggal, berhingga, dan kontinu).

Pada penelitian ini, solusi Persamaan Schrodinger tidak bergantung waktu

yang didapat adalah berupa fungsi gelombang dalam representasi ruang

momentum . Fungsi gelombang Ion Helium dalam representasi ruang

momentum dapat dituliskan dan biasa disebut dengan fungsi

gelombang kompleks karena terdiri dari tiga fungsi berbeda. Fungsi radial

merepresentasikan bahwa keberadaan elektron dapat ditemukan di sepanjang jarak

orbit elektron yang dalam hal ini direpresentasikan dengan operator momentum

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

viii

( ketika mengorbit pada inti (proton) diukur dari pusat atom. Fungsi polar

merepresentasikan bentuk orbital elektron berdasarkan sudut di

dalam atom yang memotong bidang , sedangkan fungsi azimuth

merepresentasikan gerakan elektron berotasi berdasarkan sudut secara

periodik di sekitar sumbu dalam atom. Dari keterangan tersebut, maka fungsi

gelombang Ion Helium dalam representasi ruang momentum

yang menunjukkan bahwa letak atau

keberadaan serta bentuk orbital dari sebuah partikel berbentuk elektron mengorbit

inti yaitu proton pada Ion Helium berdasarkan ruang koordinat simetri

bola.

Berdasarkan hasil yang diperoleh dari penelitian ini, maka didapatkan solusi

Persamaan Schrodinger Ion Helium pada bilangan kuantum utama

dalam representasi ruang momentum adalah sebanyak 14 fungsi gelombang yang

terdiri dari 6 fungsi radial dan 14 fungsi angular. Grafik yang diperoleh pada

penelitian ini adalah berupa grafik distribusi radial momentum yang dapat

menjelaskan mengenai kemungkinan keberadaan partikel dalam Ion Helium

pada bilangan kuantum utama .

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

ix

PRAKATA

Puji syukur kehadirat Allah SWT. Atas segala rahmat dan karunia-Nya

sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Solusi Persamaan

Schrodinger Ion Helium pada Bilangan Kuantum dalam

Representasi Ruang Momentum”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu

syarat menyelesaikan pendidikan strata satu (S1) pada Program Studi Pendidikan

Fisika Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Jember.

Penyusunan ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu,

penulis menyatakan terima kasih kepada:

1. Prof. Drs. Dafik, M.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan Universitas Jember yang telah memberikan fasilitas sehingga

skripsi ini dapat selesai;

2. Dr. Dwi Wahyuni, M.Kes., selaku ketua jurusan Pendidikan MIPA yang telah

memberikan fasilitas sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini;

3. Drs. Bambang Supriadi, M.Sc., selaku Dosen Pembimbing Akademik

sekaligus Dosen Pembimbing Utama yang telah membimbing penulis dalam

segala aspek sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini;

4. Lailatul Nuraini, S.Pd., M.Pd., selaku Dosen Pembimbing Anggota yang telah

membimbing penulis dalam segala aspek sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini;

5. Drs. Trapsilo Prihandono, M.Si., selaku Dosen Penguji Utama yang telah

meluangkan waktu untuk memberikan saran dan kritik yang membangun

demi kesempurnaan skripsi ini;

6. Drs. Alex Harijanto, M.Si., selaku Dosen Penguji Anggota yang telah

memberikan saran dan kritik yang membangun demi kesempurnaan skripsi

ini;

7. Teman-teman terdekat (Febri, Nelly, Ridha, Ayu, Alm. Andi) yang selalu

memotivasi, memberi semangat, serta dukungan dalam penyelesaian skripsi

ini;

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

x

8. Serta pihak-pihak yang tidak dapat disebutkan satu-persatu yang telah

memberikan kontribusi dan bantuannya demi kelancaran pengerjaan skripsi

ini.

Kritik dan saran sangat penulis harapkan demi kebaikan dan kesempurnaan

skripsi ini, semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat.

Jember, 10 Januari 2020

Penulis

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

xi

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i

HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... ii

HALAMAN MOTTO .......................................................................................... iii

HALAMAN PERNYATAAN .............................................................................. iv

HALAMAN PEMBIMBING ............................................................................... v

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. vi

RINGKASAN ...................................................................................................... vii

PRAKATA ............................................................................................................ ix

DAFTAR ISI ......................................................................................................... xi

DAFTAR TABEL .............................................................................................. xiii

DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xiv

DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................... xv

DAFTAR NOTASI ............................................................................................. xvi

BAB 1. PENDAHULUAN .................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ............................................................................................ 1

1.2 Rumusan Masalah ....................................................................................... 4

1.3 Tujuan Penelitian ........................................................................................ 4

1.4 Batasan Masalah .......................................................................................... 4

1.5 Manfaat Penelitian ...................................................................................... 4

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA ........................................................................... 5

2.1 Dualisme Gelombang Partikel ................................................................... 5

2.2 Persamaan Schrodinger .............................................................................. 7

2.2.1 Persamaan Schrodinger Tidak Bergantung Waktu 8

2.2.2 Persamaan Schrodinger Atom Berelektron Tunggal 9

2.3 Solusi Persamaan Schrodinger Ion Helium ( ) ............................... 12

2.4 Transformasi Fourier ................................................................................ 16

2.5 Solusi Persamaan Schrodinger Ion Helium ( ) dalam Representasi

Ruang Momentum ..................................................................................... 17

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

xii

2.6 Bilangan Kuantum .................................................................................... 23

2.6.1 Bilangan Kuantum Utama ( ) 23

2.6.2 Bilangan Kuantum Orbital ( ) 23

2.6.3 Bilangan Kuantum Magnetik ( 24

2.7 Ion Helium ( ) .................................................................................... 24

BAB 3. METODE PENELITIAN ...................................................................... 26

3.1 Jenis, Tempat, dan Waktu Penelitian ...................................................... 26

3.2 Definisi Operasional Variabel .................................................................. 26

3.3 Desain Penelitian ....................................................................................... 27

3.4 Data dan Sumber Data .............................................................................. 32

3.5 Teori Hasil Pengembangan ....................................................................... 33

3.6 Tabel Data .................................................................................................. 33

BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN .............................................................. 35

4.1 Hasil Penelitian .......................................................................................... 35

4.2 Pembahasan ............................................................................................... 38

BAB 5. PENUTUP ............................................................................................... 44

5.1 Kesimpulan ................................................................................................ 44

5.2 Saran ........................................................................................................... 44

DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 45

LAMPIRAN ......................................................................................................... 48

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

xiii

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.1 Validasi fungsi radial atom hidrogen dalam representasi ruang

momentum ............................................................................................ 29

Tabel 3.2 Validasi fungsi angular atom hidrogen dalam representasi ruang

momentum ............................................................................................ 29

Tabel 3.3 Tabel data untuk menentukan fungsi gelombang ion Helium ( ) . 33

Tabel 4.1 Hasil Simulasi Fungsi Gelombang ion Helium ( ) ........................ 36

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

xiv

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Koordinat polar bola (r, , ) ........................................................... 11

Gambar 3.1 Bagan langkah-langkah penelitian .................................................... 27

Gambar 3.2 Validasi Grafik Fungsi Distribusi Radial Momentum pada keadaan

1s, 2s, 3s .......................................................................................... 30

Gambar 3.3 Validasi Grafik Fungsi Distribusi Radial Momentum pada Keadaan

2s ...................................................................................................... 30

Gambar 3.4 Validasi Grafik Fungsi Radial Momentum pada Keadaan 3s .......... 30

Gambar 3.5 Diagram langkah pemrograman komputer untuk menentukan grafik

distribusi momentum ion Helium dalam representasi ruang

momentum ....................................................................................... 32

Gambar 4.1 Hasil Grafik Distribusi Radial Momentum Ion Helium pada

bilangan kuantum .................................................................. 37

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

xv

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1. Matriks Penelitian ............................................................................. 48

Lampiran 2 Hasil Simulasi Fungsi Gelombang Ion Helium pada bilangan

kuantum ................................................................................... 49

Lampiran 3. Perhitungan Jari-Jari Atom Bohr ...................................................... 51

Lampiran 4. Perhitungan Fungsi Radial................................................................ 53

Lampiran 5. Perhitungan Fungsi Legendre ........................................................... 57

Lampiran 6. Perhitungan Fungsi Legendre Terasosiasi ........................................ 58

Lampiran 7. Perhitungan Fungsi Polar.................................................................. 61

Lampiran 8. Perhitungan Fungsi Azimuth ............................................................ 64

Lampiran 9. Perhitungan Fungsi Angular ............................................................. 66

Lampiran 10. Perhitungan Fungsi Gelombang ..................................................... 68

Lampiran 11. Grafik Distribusi Radial Momentum Ion Helium pada

bilangan kuantum .................................................................. 72

Lampiran 12. Screenshoot Pemrograman MATLAB ........................................... 76

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

xvi

DAFTAR NOTASI

panjang gelombang de Broglie

ketetapan Planck

ketetapan Planck

momentum partikel

energi total sistem atau energi eksitasi

psi (simbol untuk menyatakan fungsi gelombang)

fungsi gelombang dalam arah tiga dimensi (sumbu x, y, dan z)

massa tereduksi

energi potensial partikel sebagai fungsi posisi

energi kinetik partikel

operator Laplacian

besaran sudut polar

besaran sudut azimuth

fungsi gelombang polar

fungsi gelombang azimuth

fungsi gelombang radial dalam ruang momentum

Ion Helium berelektron tunggal

muatan elektron

operator differensial pertama dari suatu fungsi terhadap variabel posisi x

operator differensial pertama dari suatu fungsi terhadap variabel posisi y

operator differensial pertama dari suatu fungsi terhadap variabel posisi z

operator differensial orde dua dari suatu fungsi terhadap variabel posisi x

operator differensial orde dua dari suatu fungsi terhadap variabel posisi y

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

xvii

operator differensial orde dua dari suatu fungsi terhadap variabel posisi z

operator differensial orde dua dari suatu fungsi terhadap variabel waktu

operator differensial parsial

Polinomial Legendre

Polinomial Legendre Terasosiasi

Polinomial Laguerre

Polinomial Laguerre Terasosiasi

Polinomial Gegenbauer

konstanta normalisasi

simbol delta dirac

momentum angular

bilangan kuantum utama, azimuth, magnetik

nilai jari-jari atom bohr

nilai momentum dalam orbit bohr

∫ simbol integral

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

1

BAB 1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pada abad ke 19 dan awal abad ke 20, perumusan-perumusan yang terdapat

pada fisika klasik tidak bisa lagi digunakan untuk menjelaskan peristiwa yang

terjadi pada suatu materi yang bentuknya sangat kecil dan bergerak dengan

kecepatan yang hampir mendekati kecepatan cahaya. Hal ini dibuktikan dari

berbagai eksperimen baru yang dilakukan fisikawan untuk menjelaskan hal-hal

yang berkaitan dengan teori-teori mekanika, elektromagnetik, maupun

termodinamika. Namun hasil eksperimen yang diperoleh memerlukan cara

pandang yang berbeda dalam menjelaskan gejala fisika yang terjadi tersebut,

hingga munculah teori baru yang disebut dengan mekanika kuantum.

Fisika klasik dan mekanika kuantum memiliki perbedaan pokok yang

terdapat dalam cara penggambarannya. Teori klasik menjelaskan bahwa materi

dan gelombang merupakan suatu hal yang berbeda, namun pada teori mekanika

kuantum menjelaskan mengenai keterkaitan antara gelombang dan partikel itu

sendiri. Sifat partikel dari suatu gelombang dapat dibuktikan melalui percobaan

efek fotolistrik dan efek Compton. Hasil dari percobaan tersebut menjelaskan

bahwa gelombang dan partikel memiliki keterkaitan yang mendasar dan

memungkinkan bahwa antara partikel dan gelombang tidak dapat dibedakan.

Louis de Broglie adalah seorang ilmuwan Perancis yang mengusulkan bahwa

seluruh materi menampakkan sifat seperti gelombang dan panjang gelombang

materi yang diamati dengan momentumnya dapat saling berhubungan. Hubungan

tersebut dapat dituliskan menjadi sebuah persamaan

atau yang biasa disebut

dengan panjang gelombang de Broglie.

Di dalam mekanika kuantum, terdapat sebuah persamaan yang sering sekali

digunakan sebagai topik penelitian yaitu Persamaan Schrodinger. Fungsi

gelombang dan energi suatu sistem partikel dapat ditentukan dengan

menyelesaikan persamaan schrodinger tersebut yang nantinya akan didapatkan

hasil deskripsi mengenai perilaku sekelompok partikel (Suparmi et al, 2018: 43).

Persamaan schrodinger ini memiliki banyak kegunaan diantaranya yaitu sebagai

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

2

solusi untuk menyelesaikan fungsi gelombang partikel dalam kotak, efek

terobosan, osilator harmonik, fungsi gelombang pada atom hidrogen, maupun

fungsi gelombang isotop atom hidrogen.

Fungsi gelombang merupakan kuantitas kompleks yang memberikan

karakteristik dari gelombang de Broglie. Harga fungsi ini tidak memiliki arti

fisis secara langsung. Akan tetapi, fungsi ini dapat memberikan informasi fisis

bahwa partikel tersebut memiliki gerakan yang tak terbatas. Apabila fungsi

gelombang di harga mutlak dan dikuadratkan menjadi maka akan

menyatakan rapat probabilitas dan memiliki makna bahwa terdapat kemungkinan

suatu partikel ditemukan pada posisi tertentu dalam sebuah atom (Maulana, 2019).

Apabila telah didapatkan fungsi gelombang yang telah ternormalisasi maka untuk

menentukan probabilitas akan selalu menghasilkan posisi elektron antara 0 dan 1.

Menurut Hermanto (2016) penyelesaian persamaan schrodinger pada atom

berelektron tunggal dapat dipisahkan menjadi dua buah solusi persamaan yang

bergantung jari-jari dan bergantung sudut. Fuadah et al (2018) juga menuyatakan

bahwa fungsi gelombang atom Deuterium mengandung fungsi gelombang radial

dan fungsi gelombang angular. Penelitian yang telah dilakukan oleh Yusron et al

(2007) memberikan kesimpulan bahwa probabilitas untuk menemukan elektron di

ruang antar proton pada molekul bergantung pada jarak antar proton.

Penelitian lainnya dilakukan oleh Idris-Bey dan Al-Hashimi (2018) menyatakan

bahwa fungsi gelombang atom hidrogen merupakan kuantitas kompleks yang

terdiri atas bagian radial dan bagian angular.

Helium adalah insulator listrik yang baik, kecuali jika diionisasikan. Seperti

gas mulia pada umumnya, Helium mempunyai aras energi metastabil untuk tetap

terionisasi dengan potensial di bawah potensial ionisasinya (Hampel, 1968).

Helium dapat membentuk senyawa tidak stabil yang dikenal sebagai eksimer,

dengan yodium, sulfur, tungsten, fluorin, dan fosofarus ketika terkena tumbukan

elektron, lucutan pijar, ataupum plasma dari sebab lainnya. Senyawa HeNe,

HgHe, Whe2, dan ion He+, He2+, dan HeD sudah berhasil dibentuk

menggunakan cara ini (Hiby, 1993). Cara untuk membuat atom Helium menjadi

reaktif adalah mengubahnya menjadi ion. Salah satu ionisasi dari Helium adalah

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

3

He+ yang merupakan bahan energi sangat tinggi dan mampu mengekstraksi

elektron dari atom lainnya. He+

memiliki konfigurasi elektron seperti hidrogen,

sehingga selain ionik juga dapat membentuk ikatan kovalen (Kana’an et al, 1964).

Dalam perkembangannya, teori mekanika yang paling berpengaruh salah

satunya yakni mengenai gejala atom hidrogen. Selain atom hidrogen dan isotop-

isotopnya, terdapat beberapa atom yang dapat bersifat hidrogenik. Menurut

Gautreau dan Savin (2006), atom hidrogenik merupakan atom yang melepaskan

elektron-elekton hingga menyisakan satu elektron saja pada orbital terluarnya.

Contoh atom yang memiliki satu elektron seperti hidrogen adalah Ion Helium

dan Ion Litium (Sudiarta, 2019: 207).

Penelitian sebelumnya mengenai atom hidrogen telah dilakukan salah

satunya oleh Aziz dan Abdullah (2015) yang menyimpulkan bahwa perhitungan

sistem kuantum atom hidrogen dapat dipisahkan berdasarkan operator-

operatornya, yaitu: Laplacian radial satu dimensi, operator momerntum sudut, dan

operator potensial. Ganesan dan Balaji (2008) menyimpulkan bahwa untuk bisa

menyelesaikan persamaan schrodinger pada atom yang memiliki elektron tunggal

atau atom yang mirip dengan Hidrogen adalah dengan mengubah koordinat

kartesius menjadi koordinat polar dan membutuhkan pemahaman mengenai

polinomial legendre dan laguerre.

Berdasarkan penelitian tersebut, didapatkan kenyataan bahwa telah banyak

dilakukan penelitian mengenai fungsi gelombang, probabilitas, dan ekspektasi

dari atom Hidrogen dengan representasi ruang posisi . Fungsi gelombang

dalam representasi ruang momentum pada atom hidrogenik menurut Hey (1993)

sangat jarang dibahas secara terperinci pada buku-buku maupun literatur lainnya.

Hassan (2008) melakukan penelitian mengenai fungsi gelombang dalam

representasi ruang momentum dan didapatkan kesimpulan bahwa perhitungan

Transformasi Fourier pada koordinat posisi dapat digunakan untuk menyelesaikan

fungsi gelombang pada ruang momentum. Oleh karena itu, akan dilakukan

penelitian lebih lanjut mengenai “Solusi Persamaan Schrodinger Ion Helium

( ) dengan Bilangan Kuantum utama dalam Representasi Ruang

Momentum”.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

4

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang penelitian, maka rumusan masalah yang akan

dikaji adalah bagaimanakah solusi persamaan schrodinger ion Helium ( )

pada bilangan kuantum utama dalam representasi ruang momentum?

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengkaji solusi persamaan

schrodinger ion Helium ( ) pada bilangan kuantum utama dalam

representasi ruang momentum.

1.4 Batasan Masalah

Agar penelitian ini lebih terfokus dan dapat menjawab permasalahan yang

ada, maka batasan masalah pada penelitian ini sebagai berikut:

a. Ion yang digunakan adalah ion Helium ( )

b. Bilangan kuantum yang dimaksud adalah bilangan kuantum utama

c. Solusi persamaan schrodinger ion Helium ( ) menggunakan syarat

normalisasi

d. Solusi persamaan schrodinger yang diperoleh mengabaikan efek spin

e. Grafik yang dikaji hanya grafik fungsi distribusi radial momentum ion

Helium ( )

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

a. Bagi peneliti, dapat menambah wawasan mengenai solusi persamaan

schrodinger dalam representasi ruang momentum pada ion Helium ( ).

b. Bagi pembaca, dapat dijadikan sebagai sumber dalam mempelajari fisika

kuantum khususnya persamaan schrodinger dalam mengkaji atom yang

bersifat hidrogenik.

c. Bagi lembaga, dapat memberikan sumbangan penelitian dan sebagai bahan

referensi pembelajaran pada mata kuliah fisika atom dengan pokok bahasan

atom hidrogenik.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

5

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Dualisme Gelombang Partikel

Percobaan efek fotolistik dan efek compton dapat memberikan informasi

bahwa radiasi elektromagnetik dapat menunjukkan berbagai karakteristik partikel.

Selain itu, dari eksperimen interferensi dan difraksi dapat membuktikan bahwa

radiasi elektromagnetik juga dapat berperilaku sebagai gelombang. Hal ini

menunjukkan bahwa radiasi elektromagnetik merupakan dualisme gelombang-

partikel dimana dalam keadaan tertentu radiasi elektromagnetik dapat ber.sifat

sebagai partikel dan dalam keadaan lain radiasi elektromagnetik juga bisa bersifat

sebagai gelombang.

Dalam fisika klasik, partikel dapat diartikan sebagai sesuatu yang memiliki

posisi, momentum, energi kinetik, massa, maupun muatan listrik. Disamping itu,

gelombang merupakan sesuatu yang memiliki panjang gelombang, frekuensi,

kecepatan, amplitudo gangguan, intensitas, energi, dan juga momentum.

Perbedaan utama dari keduanya ini yaitu bahwa partikel dapat dilokalisasi,

sedangkan gelombang lebih menempati suatu ruang yang relatif besar dan tersebar

didalamnya (Gautreau dan Savin, 2006:67).

Kemungkinan bahwa partikel seperti elektron berperilaku sebagai partikel

juga sebagai gelombang diusulkan pertama kali oleh Louis de Broglie pada tahun

1923 yang menyatakan bahwa seluruh partikel yang bergerak dengan momentum

akan terkait suatu gelombang dengan panjang gelombang . Keterkaitan ini

dituliskan dalam persamaan (2.1) berikut:

(2.1)

Pada persamaan (2.1) menunjukkan bahwa panjang gelombang sebuah partikel

yang dihitung menurut persamaan tersebut disebut dengan panjang gelombang de

Broglie (Krane, 2012:103).

Panjang gelombang de Broglie hanya dapat diamati untuk partikel-partikel

yang berukuran sangat kecil seperti atom atau inti atom, sedangkan kecepatan

gelombang de Broglie dapat dituliskan pada persamaan (2.2) berikut:

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

6

(2.2)

Dalam perambatannya, gelombang memindahkan sejumlah energi dari suatu

subsistem ke subsistem yang lain. Gelombang yang merambat dalam arah sumbu-

dalam waktu tertentu memenuhi persamaan gelombang (2.3) sebagai berikut:

(2.3)

Berbeda dengan teori klasik yang memiliki fungsi gelombang dengan variabel ,

pada mekanika kuantum fungsi gelombangnya memiliki variabel , dimana

bukan merupakan suatu kuantitas yang dapat diukur seperti , namun dapat

berupa kuantitas yang kompleks. Fungsi gelombang pada kuantum dapat

dituliskan pada persamaan (2.4) berikut:

(2.4)

Apabila pada persamaan diatas diganti dengan dan diganti dengan ,

maka akan diperoleh persamaan (2.5) sebagai berikut:

(2.5)

Telah diketahui bahwa dan

sehingga diperoleh

persamaan (2.6) berikut:

(

) (2.6)

(Beiser, 2003:171).

Fungsi gelombang merupakan kuantitas kompleks yang memberikan

karakteristik dari gelombang de Broglie. Harga fungsi ini tidak memiliki arti

fisis secara langsung. Akan tetapi, fungsi ini dapat memberikan informasi fisis

bahwa partikel tersebut memiliki gerakan yang tak terbatas. Apabila fungsi

gelombang di harga mutlak dan dikuadratkan menjadi maka akan

menyatakan rapat probabilitas dan memiliki makna bahwa terdapat kemungkinan

suatu partikel ditemukan pada posisi tertentu dalam sebuah atom (Maulana,

2019:6).

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

7

2.2 Persamaan Schrodinger

Dalam kasus mekanika kuantum nonrelativistik, persamaan dasar yang

harus dipecahkan adalah persamaan differensial orde kedua yang dikenal dengan

Persamaan Schrodinger. Persamaan ini menggambarkan mengenai interaksi

partikel dengan lingkungannya yang digambarkan dengan interaksi dalam hal

energi potensial terhadap gaya. Tidak seperti Hukum Newton, Persamaan

Schrodinger ini tidak memberikan lintasan partikel, namun solusinya adalah

berupa fungsi gelombang yang membawa informasi mengenai sifat-sifat serta

tingkah laku partikel tersebut (Krane, 2012:134). Persamaan schrodinger harus

memenuhi 3 syarat yaitu:

a. Tidak boleh melanggar hukum kekekalan energi.

Hukum kekekalan energi menyatakan bahwa energi bersifat kekal, tidak dapat

diciptakan maupun dimusnahkan, namun hanya dapat berubah dari satu

bentuk ke bentuk yang lainnya. Secara matematis, hukum kekekalan energi

dapat dituliskan pada persamaan (2.7) berikut:

(2.7)

Persamaan (2.7) menunjukkan bahwa penjumlahan energi kinetik dan energi

potensial akan menghasilkan energi total yang bersifat kekal. Dalam mekanika

kuantum, energi total dibatasi oleh keadaan non-relativistik sehingga dapat

dituliskan pada persamaan (2.8) berikut:

(2.8)

hanya menyatakan jumlah energi kinetik dan potensial, bukan energi massa

relativistik.

b. Taat asas terhadap hipotesis de Broglie.

Apapun bentuk persamaan yang dituliskan haruslah taat asas terhadap

hipotesis de Broglie dimana pemecahan matematis bagi sebuah parikel yang

memiliki momentum harus berbentuk sebuah fungsi gelombang dengan

panjang gelombang . Panjang gelombang ( ) tersebut sama dengan .

Dengan menggunakan persamaan maka energi kinetik dari gelombang

de Broglie dituliskan pada persamaan (2.9) berikut:

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

8

(2.9)

c. Persamaannya harus berperilaku baik.

Pemecahan dari persamaan schrodinger diharapkan memberikan berbagai

informasi mengenai probabilitas untuk menemukan partikelnya. Meskipun

probabilitasnya berubah secara tidak kontinu yang berarti partikelnya

menghilang secara tiba-tiba di suatu titik namun muncul kembali di titik yang

lain, fungsinya haruslah bernilai tunggal, yang berarti tidak boleh ada dua

probabilitas untuk menemukan sebuah partikel di titik yang sama. Fungsi

tersebut juga harus bersifat linear agar gelombangnya memiliki sifat

superposisi sehingga dapat dikatakan berperilaku baik (Krane, 2012: 141).

2.2.1 Persamaan Schrodinger Tidak Bergantung Waktu

Dalam berbagai kondisi, energi potensial dari sebuah partikel tidak

bergantung waktu secara eksplisit. Hal ini dikarenakan energi potensial yang

diperoleh sumbernya berasal dari interaksi antar partikel dengan gaya konservatif

sehingga mengakibatkan perubahan hanya terjadi pada kedudukan partikel.

Persamaan schrodinger dapat disederhanakan dengan meniadakan kebergantungan

terhadap waktu sehingga biasa disebut dengan Persamaan Schrodinger tidak

bergantung waktu dan memiliki sifat yang kekal. Menggunakan persamaan (2.6)

kemudian diuraikan variabel dan pada persamaan (2.10) dan (2.11) berikut:

(2.10)

(2.11)

Jika dimisalkan (

)

Maka persamaan (2.11) dapat ditulis kembali pada persamaan (2.12) berikut:

(

)

(2.12)

Dari persamaan (2.12) menandakan bahwa adalah hasil kali dari

fungsi yang bergantung waktu yaitu (

)

dengan fungsi yang bergantung

kedudukan yaitu . Pada kenyataannya, perubahan terhadap waktu dari

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

9

seluruh fungsi partikel yang mengalami aksi dari gaya tunak akan memiliki

bentuk yang sama dengan partikel bebas. Sehingga dengan mensubtitusikan

ke persamaan schrodinger akan didapatkan persamaan (2.13) berikut:

(

)

(

)

(

)

(2.13)

Apabila persamaan (2.13) dibagi dengan faktor eksponensial yaitu (

)

maka

akan berubah menjadi:

atau dapat dituliskan kembali menjadi persamaan (2.14) berikut:

(2.14)

(Liboff, 2003:187).

Persamaan (2.14) merupakan persamaan schrodinger tidak bergantung waktu

dalam keadaan 1 dimensi, apabila dalam keadaan 3 dimensi maka persamaannya

adalah:

,

-

,

- (2.15)

(Beiser, 2003: 176).

Persamaan (2.15) merupakan bentuk umum persamaan schrodinger tidak

bergantung waktu untuk partikel yang bermassa dan bergerak pada ruang tiga

dimensi dalam medan potensial .

2.2.2 Persamaan Schrodinger Atom Berelektron Tunggal

Atom yang paling dikenal memiliki elektron sebanyak satu ialah Hidrogen.

Atom ini paling sederhana dan tersusun dari sebuah elektron yang bermuatan

sedangkan inti atomnya bermuatan dan mempunyai massa proton yang jauh

lebih besar jika dibandingkan massa elektronnya dengan perbandingan

. Elektron bergerak disekeliling proton dan cenderung melepaskan diri

dari inti namun dicegah oleh medan listrik proton (Kurniawan dan Nur, 2005).

Karena proton jauh lebih masif daripada elektron, maka dapat diasumsikan bahwa

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

10

massa tereduksi sama dengan massa elektron dan proton terletak di pusat massa

(Zielinski et al, 2005). Persamaannya dapat ditulis pada persamaan (2.16) berikut:

(2.16)

(Maulana, 2019).

Dari persamaan (2.16), adalah massa tereduksi, m adalah massa elektron, dan M

adalah massa proton. Persamaan Schrodinger untuk Atom Hidrogen dapat

dituliskan dalam persamaan (2.17) berikut:

(

) (2.17)

Dengan mengasumsikan bahwa proton diam pada pusat koordinat dan

elektron yang mengelilinginya dibawah pengaruh gaya Couloumb, maka

energinya dapat dituliskan pada persamaan (2.18) berikut:

(2.18)

(Purwanto, 2016:136).

Dengan mensubtitusi persamaan (2.18) ke persamaan (2.17), maka akan

didapatkan persamaan (2.19) berikut:

(

) (2.19)

Penyelesaian dari Persamaan Schrodinger untuk atom berelektron tunggal

seperti Atom Hidrogen, dapat menggunakan Persamaan Schrodinger dalam

koordinat bola atau tiga dimensi seperti persamaan (2.20) berikut:

,

- ̅ ̅ (2.20)

(Gasiorowics,1996:169).

Sehingga persamaan schrodinger tak bergantung waktu dalam tiga dimensi

dinyatakan pada persamaan (2.21) berikut:

(2.21)

atau dapat juga dituliskan:

(2.22)

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

11

Persamaan (2.20) menunjukkan bahwa Persamaan Schrodinger untuk atom

berelektron tunggal dapat diselesaikan dengan menggunakan Persamaan

Schrodinger dalam koordinat bola atau tiga dimensi. Koordinat bola tersebut

dapat digambarkan pada Gambar 2.1 berikut:

Gambar 2.1 Koordinat polar bola (r, , )

Dari Gambar 2.1 diketahui bahwa:

Pada saat keadaan kuantum direpresentasikan oleh fungsi gelombang

dan diketahui bahwa r merupakan fungsi radial, merupakan fungsi

polar, dan merupakan fungsi azimuth, ketergantungan pada fungsi polar dan

menentukan bentuk anguler untuk menjelaskakan sifat-sifat momentum anguler

orbital dari suatu keadaan. Oleh karena suatu sistem hidrogen memiliki bentuk

simetri bola, maka akan menjadi lebih sederhana apabila operator Laplace

pada persamaan (2.22) dituliskan kembali ke dalam koordinat polar bola pada

persamaan (2.23) berikut:

(

)

(

)

(2.23)

(Supriadi et al, 2018:2).

Sehingga persamaan schrodinger atom hidrogen dalam tiga dimensi pada

persamaan (2.22) dapat dituliskan kembali pada persamaan (2.24) berikut:

*

(

)

(

)

(

)+

(2.24)

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

12

Persamaan (2.24) merupakan bentuk umum persamaan schrodinger atom hidrogen

untuk partikel yang bermassa dan bergerak pada ruang tiga dimensi dalam

medan potensial yang merupakan kuantitas kompleks terdiri dari bagian

radial dan bagian angular .

2.3 Solusi Persamaan Schrodinger Ion Helium ( )

Untuk memisahkan persamaan schrodinger pada koordinat polar bola untuk

atom berelektron tunggal (hidrogenik), maka fungsi gelombang dalam ruang

posisi umumnya mengandung tiga persamaan sekaligus yaitu dan

dipisahkan menjadi hanya mengandung satu koordinat saja. Karena fungsi

gelombang merupakan hasil perkalian dari tiga fungsi berbeda.

Pemisahan variabel dapat dituliskan pada persamaan (2.25) berikut:

(2.25)

(Maulana, 2019: 10).

Dimana merupakan fungsi gelombang radial dan merupakan

disebut dengan fungsi gelombang angular. Dengan mensubtitusi

persamaan (2.25) dengan (2.24) maka diperoleh persamaan (2.26) berikut:

*

(

)

(

)

(

)+ ̅ (2.26)

Selanjutnya, apabila persamaan (2.26) dibagi dengan dan kemudian dikalikan

dengan , akan menghasilkan:

*

(

)

( )+

*

(

)

(

)+

atau:

*

(

)

( )+

*

(

)

(

)+ (2.27)

(Griffith, 2005:134).

Pada persamaan (2.27), ruas kiri hanya bergantung pada jarak

( sedangkan ruas kanan bergantung pada sudut ( dan ( . Kedua ruas

tersebut merupakan sebuah tetapan atau konstanta yang sama dengan bentuk

. Pemilihan konstanta tersebut didasarkan pada tujuan agar mendapatkan

persamaan diferensial Legendre untuk perhitungan selanjutnya, yaitu:

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

13

*

(

)

( )+ (2.28)

*

(

)

(

)+ (2.29)

Persamaan (2.28) merupakan persamaan radial untuk atom hidrogenik dan

persamaan (2.29) menentukan ketergantungan pada dan Maka apabila

dikalikan dengan persamaan (2.29) akan menjadi:

(

) (

) (2.30)

Persamaan (2.30) sudah merupakan persamaan yang tetap, yang artinya tidak

mengandung sebuah fungsi atau sebuah operator yang belum diketahui nilainya

seperti . Untuk menyelesaikan persamaan (2.30), maka dilakukan pemisahan

variabel, yaitu:

(2.31)

Persamaan (2.31) disubtitusi dengan persamaan (2.30) dan membaginya dengan

sehingga menghasilkan:

,

*

(

)+ -

atau:

,

*

(

)+ -

(2.32)

Ruas kiri pada persamaan (2.32) bergantung pada , dan pada ruas kanan

bergantung pada , sehingga keduanya dapat memiliki nilai konstanta yang sama.

Hal tersebut dapat menjadikan ruas kanan dan ruas kiri memiliki konstanta .

Konstanta tersebut dipilih agar bisa mendapatkan persamaan Legendre.

,

*

(

)+ - (2.33)

(2.34)

Persamaan (2.34) dapat dituliskan menjadi:

(

)

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

14

Bila dimisalkan

maka:

Jika kedua ruas dikalikan dengan maka akan menghasilkan:

Nilai A didapatkan dari hasil normalisasi fungsi yaitu:

Maka dituliskan pada persamaan (2.35) berikut:

(2.35)

(Purwanto, 2016:129).

Persamaan (2.35) merupakan fungsi persamaan koordinat azimut ( yang

mengandung bilangan bulat atau biasa disebut dengan bilangan kuantum

magnetik. Fungsi azimuth merepresentasikan gerakan elektron berotasi

berdasarkan sudut secara periodik di sekitar sumbu dalam atom. Pada saat

bernilai lebih dari maka:

(2.36)

Nilai eksponensial [ ] sama dengan nilai eksponensial atau

eksponensial ( yang bernilai sama dengan 1. Nilai bilangan kuantum

magnetik harus merupakan bilangan bulat yaitu

.

Selanjutnya, apabila akan menentukan solusi dari persamaan (2.33) maka

dikalikan dengan

sehingga menjadi persamaan (2.37) berikut:

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

15

(

) *

+ (2.37)

Persamaan (2.37) juga dapat dituliskan sebagai persamaan (2.38) berikut:

*

+ (2.38)

Berdasarkan rumus Rodrigeus, bentuk eksplisit dari polinomial legendre

terasosiasi ini dapat ditentukan pada persamaan (2.39) berikut:

(2.39)

dalam persamaan tersebut bernilai dan biasa disebut dengan persamaan

diferensial Legendre terasosiasi. Persamaan tersebut memiliki solusi yang

didapatkan dengan menggunakan metode Frobenius dan diberikan suatu deret

yang berhingga atau dikenal dengan sebutan Polinomial Legendre Terasosiasi

. Persamaan (2.39) dapat dituliskan kembali menjadi persamaan (2.40)

berikut:

(

)

(2.40)

disebut sebagai polinomial legendre yang didapat dari rumus Rodrigeus

dan dapat dituliskan pada persamaan (2.41) berikut:

(

) (2.41)

Selanjutnya, normalisasi dari polinomial legendre terasosiasi dengan

memunculkan konstanta normalisasi maka:

(2.42)

merupakan suatu konstanta normalisasi yang nilainya dapat dicari

menggunakan syarat normalisasi dari fungsi gelombang, sehingga dapat dituliskan

menjadi:

Dengan menggunakan sifat orthogonalitas maka:

Karena maka = 1

didapatkan konstanta normalisasi

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

16

(2.43)

Sehingga

(2.44)

Maka didapatkan fungsi gelombang angular ternormalisasi atau yang disebut

dengan fungsi harmonik bola pada persamaan (2.45) berikut:

(2.45)

(Purwanto, 2016:129).

Persamaan (2.45) disebut juga fungsi angular yang mengandung fungsi polar dan

fungsi azimuth. Fungsi polar merepresentasikan bentuk orbital elektron

berdasarkan sudut di dalam atom yang memotong bidang , sedangkan

fungsi azimuth merepresentasikan gerakan elektron berotasi berdasarkan sudut

secara periodik di sekitar sumbu dalam atom.

2.4 Transformasi Fourier

Dalam fisika matematika, seringkali muncul model transformasi yang biasa

digunakan untuk memindahkan suatu domain waktu dari suatu fungsi ke dalam

domain frekuensi yang disebut dengan Transformasi Fourier. Transformasi ini

memiliki hubungan dengan Deret Fourier yang biasa digunakan sebagai alat bantu

dalam penyelesaian persamaan differensial biasa maupun persamaan differensial

parsial. Dalam mekanika kuantum, perhitungan Transformasi Fourier pada

koordinat posisi dapat digunakan untuk menyelesaikan fungsi gelombang pada

ruang momentum

√ ∫

(2.46)

√ ∫

(2.47)

Apabila variabel diubah menjadi variabel , maka didapatkan Transformasi

Fourier pada dan seperti pada persamaan (2.48) dan (2.49) berikut:

√ ∫

(2.48)

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

17

√ ∫

(2.49)

(Mavromatis, 1987:30).

Persamaan (2.49) merupakan invers dari persamaan (2.48) yang dapat digunakan

sebagai alat bantu untuk memudahkan penyelesaian solusi persamaan schrodinger

dalam ruang momentum.

2.5 Solusi Persamaan Schrodinger Ion Helium ( ) dalam Representasi

Ruang Momentum

Fungsi gelombang dalam ruang posisi yang diperoleh dari

penyelesaian persamaan schrodinger merupakan fungsi polar dari koordinat

. Interpretasi yang diberikan pada fungsi tersebut adalah bahwa kuadrat dari

besarnya nilai mutlak dari fungsi gelombang dalam ruang posisi tersebut mewakili

probabilitas per satuan volume yang akan memiliki konfigurasi yang dijelaskan

oleh . Nilai dari dapat dinyatakan sebagai fungsi distribusi

elektron pada ruang posisi, sedangkan probabilitas dari elektron dapat ditemukan

dalam selang dalam daerah yang diberikan oleh nilai-nilai tertentu dari

koordinat ruang posisi.

Pada fungsi delta dirac, merupakan transformasi fungsi dari

koordinat kartesian ke bilangan kuantum dan dapat direpresentasikan dengan

simbol / Sedangkan untuk transformasi fungsi dari momentum

dengan bilangan kuantum dapat dituliskan seperti simbol dalam

ruang posisi / .

Fungsi / dapat diperoleh dari transformasi fungsi /

dengan menggunakan persamaan (2.50) berikut:

∫ ∫ ∫ (

)( )

(2.50)

Dengan memisalkan bahwa merupakan koordinat polar yang memiliki

persamaan

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

18

(2.51)

Sehingga dalam ruang momentum dapat dituliskan

(2.52)

sama besarnya dengan vektor momentum total, dan sudut memberikan

orientasi vektor momentum relatif terhadap sumbu koordinat kartesius. Fungsi

/ akan menjadi fungsi , , yang bisa disebut dengan fungsi

momentum dan bisa diberikan simbol , , ) sehingga persamaan (2.50)

dapat dituliskan kembali menjadi

∫ ∫ ∫ (

)

(2.53)

dengan

,

- {(

)

}

{

(

)

} (2.54)

(Podolsky dan Pauling, 1929:110)

Diketahui bahwa

;

) merupakan fungsi Legendre

terasosiasi ; dan merupakan polinomial Laguerre terasosiasi yang

dapat didefinisikan dalam bentuk

(2.55)

Dengan memisahkan persamaan yang bergantung pada dan , maka dapat

dibuat menjadi persamaan (2.56) dan (2.57) berikut:

(

) (2.56)

dan

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

19

(

) (2.57)

Kemudian persamaan (2.53) dapat dituliska kembali menjadi persamaan (2.58)

berikut:

(

)

(

)

(2.58)

Apabila dimisalkan kemudian disubtitusi dalam persamaan (2.56) dan

diberikan fungsi Bessel untuk maka:

(2.59)

Apabila maka persamaan (2.59) dapat diubah menjadi

persamaan (2.60) berikut:

(2.60)

Selain itu, dibutuhkan juga hubungan antara fungsi Legendre terasosiasi dan

fungsi Gegenbauer yang dapat didefinisikan oleh fungsi generator pada

polinomial Legendre yang digunakan untuk mengembangkan hubungan rekursi

seperti persamaan (2.61) berikut:

(2.61)

Pada persamaan (2.61), ketika

maka fungsi tersebut akan tereduksi menjadi

polinomial Legendre. Dengan menggunakan

dan menurunkan persamaan

(2.61) terhadap waktu yang memiliki hubungan dengan , maka dapat diperoleh

hubungan persamaan berikut:

(2.62)

Dalam fungsi Gegenbauer, diberikan persamaan integral (2.63) sebagai berikut:

(

)

(2.63)

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

20

Jika digunakan

dan , maka dengan

mensubtitusi persamaan (2.63) dengan persamaan (2.62) akan menghasilkan

persamaan (2.64) berikut:

(

)

(2.64)

Dalam mensubtitusi persamaan yang diberikan pada persamaan (2.60)

maka dapat terlihat bahwa persamaan memiliki bentuk persamaan yang sama

dengan persamaan , sehingga dapat dituliskan

(

)

(

)

(

) (2.65)

Merujuk pada persamaan (2.58) dan (2.65), dapat dilihat bahwa

mengandung persamaan integral (2.66) berikut:

(

)

(2.66)

apabila dan maka:

∫ (

)

(2.67)

dengan hanya mengambil persamaan integralnya, persamaan di atas dapat ditulis

kembali menjadi persamaan (2.68) berikut:

∫ (

)

(2.68)

Untuk menyelesaikan persamaan integral (2.68), maka dapat dituliskan fungsi

yang didefinisikan menurut persamaan (2.69) berikut:

(2.69)

Fungsi (2.69) dapat diselesaikan menggunakan fungsi generator pada

polinomial Laguerre terasosiasi pada persamaan (2.55). Dengan demikian dapat

diperoleh sebagai koefisien dari penjabaran

∫ (

)∑

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

21

(

)

∫ (

)

(2.70)

(Podolsky dan Pauling, 1929:113).

Integral yang terakhir adalah kasus khusus dari integral umum lainnya yang dapat

dituliskan pada persamaan (2.71) sebagai berikut:

(

)

(

)

(2.71)

Dengan memisalkan bahwa

dan

maka

(

) (2.72)

merupakan hipergeometri terdegenerasi satu yang sama dengan

,

-

(2.73)

Sehingga dapat ditulis dalam bentuk

(2.74)

dengan

(

)

(2.75)

dan

(2.76)

Kembali pada persamaan (2.61) dan mengalikan kedua ruas dengan

(

) maka diperoleh

(2.77)

apabila dimisalkan dan , maka persamaan (2.74) dapat ditulis

kembali pada persamaan (2.78) sebagai berikut:

(2.78)

jika membandingkan persamaan (2.78) dan (2.69) maka:

(

) (2.79)

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

22

Dengan menuliskan bahwa maka

solusi persamaan schrodinger dalam ruang momentum dapat ditulis pada

persamaan (2.80) berikut:

(

) {(

)

} (

)

(

) (2.80)

Dari persamaan (2.80) diketahui bahwa .

merupakan nilai momentum elektron dalam orbit Bohr dengan merupakan

konstanta planck dan merupakan jari-jari atom Bohr yang nilainya sebesar

sesuai dengan atom Hidrogen dalam keadaan normal.

Sehingga persamaan (2.80) dapat dituliskan kembali menjadi

(

) {(

)

} (

)

(

) (2.81)

(Podolsky dan Pauling,1929:114).

Dari persamaan (2.81) terdapat persamaan angular yang mengandung dan

persamaan radial yang mengandung ( dan dapat dipisahkan menjadi persamaan

(2.82) berikut:

(

)

(

) (2.82)

Untuk merupakan polinomial Gegenbauer yang memenuhi relasi

rekurensi:

[

]

(2.83)

(Bethe,1957: 39).

Fungsi radial (2.82) merepresentasikan bahwa keberadaan elektron dapat

ditemukan di sepanjang jarak orbit elektron yang dalam hal ini direpresentasikan

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

23

dengan operator momentum ( ketika mengorbit pada inti (proton) diukur dari

pusat atom.

2.6 Bilangan Kuantum

Bilangan kuantum merupakan pusat dari mekanika kuantum dan pada

umumnya berbentuk bilangan bulat yang melambangkan nilai-nilai diskrit

kuantitas yang penting dalam sebuah atom, seperti energi dan momentum angular.

2.6.1 Bilangan Kuantum Utama ( )

Bilangan kuantum ini pada awalnya diberikan oleh Bohr untuk menentukan

energi dari elektron di dalam atom yang berisi satu elektron seperti Hidrogen.

Bilangan ini merupakan bilangan bulat positif (1,2,3,...) yang dibutuhkan untuk

menetapkan tenaga elektron pada atom yang berisi banyak elektron. Semakin

besar nilai , maka makin besar pula tenaga elektronnya (Sukardjo, 2004: 472).

Teori kuantum atom hidrogen menjelaskan bahwa energi elektron memiliki

nilai yang konstan dan berharga positif berapapun. Namun, energi negatifnya

dapat ditentukan dengan persamaan . Sehingga kuantisasi energi

elektron dalam atom hidrogen dapat diuraikan oleh bilangan kuantum antara

(Beiser, 1990:213).

2.6.2 Bilangan Kuantum Orbital ( )

Bilangan ini menentukan kecepatan sudut dari elektron, semakin besar nilai

makin tinggi pula kecepatan sudutnya. Besarnya momentum sudut elektron

dapat ditulis dalam persamaan berikut:

√ (2.84)

juga menentukan bentuk orbital dari elektron. Untuk harga tertentu dari ,

memiliki harga 0 hingga . Sehingga untuk . Orbital atom

dengan bernilai 1,2, dan 3, masing-masing disebut orbital s, p, d, dan f.

Tergantung dari bilangan kuantum utamanya, maka masing-masing orbital disebut

orbital 1s, 2s, 2p, dan lain sebagainya (Sukardjo, 2004: 472).

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

24

2.6.3 Bilangan Kuantum Magnetik (

Elektron dapat menimbulkan arus listrik hingga mengakibatkan terjadinya

medan magnet dikarenakan oleh gerakan orbitalnya. Momen magnet yang

berhubungan dengan medan magnet ini merupakan sebuah besaran vektor yang

nantinya akan berorientasi ke arah tertentu disebabkan adanya medan magnet luar.

Hanya orientasi tertentu yang memungkinkan masing-masing memiliki tingkatan

energi tertentu. Hal ini ditentukan oleh besarnya harga Meskipun tidak ada

medan magnet luar, tetap memiliki arti. Harga berkisar dari +1 melalui 0

hingga -1. Untuk setiap harga , akan memiliki harga sebanyak

(Sukardjo, 2004: 472).

2.7 Ion Helium ( )

Helium merupakan unsur golongan VIII A paling melimpah kedua setelah

Hidrogen di alam semesta dan merupakan unsur utama planet raksasa gas di

dalam tata surya dengan elektron sebanyak dua buah saja (Spake et al, 2017).

Helium secara kimia bersifat inert dan umumnya dianggap tidak reaktif yang

disebabkan oleh konfigurasi elektron yang sangat stabil dan memiliki potensi

ionisasi yang tidak tertandingi. Ciri dari Helium diantaranya yaitu memiliki energi

ionisasi pertama sebesar 24,57 eV yang merupakan nilai tertinggi dari setiap

elemen, kulit elektron dari Helium juga lengkap dan dalam bentuk ini tidak siap

menerima elektron tambahan atau bergabung dengan apapun membentuk senyawa

kovalen. Selain itum afinitas elektron dari Helium adalah sebesar 0,080 eV dan

sangat dekat dengan nol. Helium juga memiliki polarisasi terendah dari semua

jenis atom. Pada suhu yang sangat rendah, Helium dapat membentuk molekul Van

der Waals (Xiao et al, 2014).

Helium adalah insulator listrik yang baik, kecuali jika diionisasikan. Seperti

gas mulia pada umumnya, Helium mempunyai aras energi metastabil untuk tetap

terionisasi dengan potensial di bawah potensial ionisasinya (Hampel, 1968).

Helium dapat membentuk senyawa tidak stabil yang dikenal sebagai eksimer,

dengan yodium, sulfur, tungsten, fluorin, dan fosofarus ketika terkena tumbukan

elektron, lucutan pijar, ataupum plasma dari sebab lainnya. Senyawa HeNe,

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

25

HgHe, Whe2, dan ion He+, He2+, dan HeD sudah berhasil dibentuk

menggunakan cara ini (Hiby, 1993). Cara untuk membuat atom Helium menjadi

reaktif adalah mengubahnya menjadi ion. Salah satu ionisasi dari Helium adalah

He+ yang merupakan bahan energi sangat tinggi dan mampu mengekstraksi

elektron dari atom lainnya. He+

memiliki konfigurasi elektron seperti hidrogen,

sehingga selain ionik juga dapat membentuk ikatan kovalen (Kana’an et al, 1964).

Dalam perkembangannya, teori mekanika yang paling berpengaruh salah

satunya yakni mengenai gejala atom hidrogen. Selain atom hidrogen dan isotop-

isotopnya, terdapat beberapa atom yang dapat bersifat hidrogenik. Menurut

Gautreau dan Savin (2006: 89), atom hidrogenik merupakan atom yang

melepaskan elektron-elekton hingga menyisakan satu elektron saja pada orbital

terluarnya. Contoh atom yang memiliki satu elektron seperti hidrogen adalah Ion

Helium dan Ion Litium (Sudiarta, 2019: 207).

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

26

BAB 3. METODE PENELITIAN

3.1 Jenis, Tempat, dan Waktu Penelitian

Penelitian yang akan dilakukan tergolong dalam penelitian non eksperimen

dalam bidang fisika teoritis mengenai ion Helium ( ) dan persamaan

schrodinger. Penelitian dilaksanakan pada semester Gasal Tahun Pelajaran

2019/2020 di Laboratorium Fisika Lanjut Gedung C FKIP Universitas Jember.

3.2 Definisi Operasional Variabel

Untuk menghindari terjadinya kesalahan dalam mengartikan istilah-istilah

dalam penelitian ini, maka akan diberikan definisi operasional mengenai variabel-

variabel, antara lain:

a. Solusi Persamaan Schrodinger Ion Helium ( ) dalam Ruang Posisi

Solusi Persamaan Schrodinger ion Helium ( ) merupakan sebuah

fungsi gelombang tiga dimensi yang di dalamnya terdapat gabungan dari

fungsi radial dan fungsi angular . Fungsi gelombang dapat

ditulis dalam beberapa representasi dan pada umumnya ditulis dalam

representasi ruang posisi dan ruang momentum.

b. Solusi Persamaan Schrodinger Ion Helium ( ) dalam Ruang Momentum

Solusi Persamaan Schrodinger ion Helium ( ) dalam ruang momentum

didapatkan dari fungsi gelombang dalam ruang posisi yang di

transformasikan menggunakan transformasi fourier sehingga didapatkan

fungsi gelombang dalam ruang momentum.

c. Fungsi Distribusi Momentum

Fungsi Distribusi Momentum merupakan suatu fungsi yang dapat

menunjukkan bahwa sebuah partikel terdapat dalam satuan ruang tiap satuan

panjang yang dapat dituliskan .

d. Representasi Ruang Momentum

Representasi ruang momentum ( ) bermakna bahwa operator yang digunakan

dalam fungsi gelombang adalah (momentum) itu sendiri sebagai konstanta.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

27

3.3 Desain Penelitian

Pada penelitian ini, terdapat langkah-langkah yang harus dilakukan untuk

menemukan nilai dari fungsi gelombang momentum dan probabilitas momentum

untuk ion Helium ( ). Langkah penelitian tersebut disajikan pada Gambar 3.1

berikut:

Gambar 3.1 Bagan langkah-langkah penelitian

Uraian bagan langkah-langkah penelitian pada Gambar 3.1 adalah sebagai

berikut:

a. Persiapan

Persiapan merupakan langkah awal yang dilakukan dalam memulai

penelitian. Dalam tahapan persiapan ini dikumpulkan segala literatur yang

berkaitan dengan tujuan dari penelitian. Literatur tersebut berupa buku,

Kesimpulan

Persiapan

Pengembangan Teori

Validasi Alat Simulasi

Simulasi/Pengambilan Data

Pembahasan

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

28

jurnal, modul, dan informasi-informasi lain dari beberapa website. Selain itu,

software matlab juga dipersiapkan sebagai alat simulasi.

b. Pengembangan Teori

Pada tahapan ini dikembangkan teori-teori dan berbagai persamaan yang

terdapat di literatur mengenai Persamaan Schrodinger pada atom berelektron

tunggal tidak bergantung waktu dalam koordniat bola. Solusi dari Persamaan

Schrodinger ini adalah menggunakan separasi variabel dimana persamaan

tersebut dapat dipisahkan menjadi tiga persamaan yang bebas, dan masing-

masing hanya mengandung satu koordinat saja. Pemisahan seperti itu terjadi

karena mengambil bentuk perkalian dari tiga fungsi yang berbeda,

yaitu yang hanya bergantung jari-jari ( dan persamaan yang bergantung

sudut . Dalam representasi ruang posisi, persamaan yang bergantung

jari-jari ( disebut sebagai fungsi radial , sedangkan dalam ruang

momentum, fungsi radialnya dituliskan sebagai dimana hanya

bergantung pada bilangan kuantum utama dan bilangan kuantum orbital .

Fungsi yang bergantung sudut disebut dengan fungsi angular dan

solusinya disebut dengan fungsi angular yang merupakan gabungan

dari fungsi polar dan fungsi azimut . Maka dalam representasi

ruang momentum, solusi persamaan schrodinger untuk atom berelektron

tunggal adalah ( ) ( ).

c. Validasi Alat Simulasi

Setelah pengembangan teori dilakukan dan didapatkan hasil data solusi

Persamaan Schrodinger ion Helium ( ), maka tahapan selanjutnya adalah

validasi terhadap hasil yang sudah didapatkan dari pengembangan teori

tersebut, kemudian dicocokkan dengan literatur atau penelitian yang telah

diilakukan sebelumnya. Data yang digunakan untuk memvalidasi hasil

penelitian ini disajikan pada Tabel 3.1 hingga Tabel 3.2 dan Gambar 3.2

sampai Gambar 3.4 berikut:

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

29

Tabel 3.1 Validasi fungsi radial atom hidrogen dalam representasi ruang

momentum

Kulit

K

1

0

0

L

2

0

0

1

0

(Bethe, 1957:39)

Tabel 3.2 Validasi fungsi angular atom hidrogen dalam representasi ruang

momentum

Kulit

K

1

0

0

L

2

0

0

1

0

(

)

(Krane, 2012: 275).

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

30

Gambar 3.2 Validasi Grafik Fungsi Distribusi Radial Momentum pada keadaan 1s, 2s, 3s

(Rioux,1997).

Gambar 3.3 Validasi Grafik Fungsi Distribusi Radial Momentum pada Keadaan 2s

Gambar 3.4 Validasi Grafik Fungsi Radial Momentum pada Keadaan 3s

(Hey,1993)

Gambar 3.2 merupakan gabungan grafik fungsi distribusi radial momentum

untuk atom Hidrogen pada keadaan , dan sedangkan Gambar 3.3 dan

Gambar 3.4 merupakan grafik fungsi radial momentum pada keadaan 2s dan

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

31

3s yang dihasilkan oleh peneliti terdahulu dan digunakan sebagai validasi

simulasi grafik fungsi distribusi radial momentum untuk Ion Helium ( )

pada penelitian ini. Berdasarkan grafik tersebut, dapat dijelaskan bahwa pada

sumbu ordinat menyatakan posisi elektron dalam ruang momentum

diukur dari inti di dalam atom dalam satuan , sedangkan pada sumbu

absis menyatakan distribusi radial momentum yang dinyatakan sebagai

kuadrat nilai mutlak dari fungsi gelombang radial momentum yang

merepresentasikan kemungkinan suatu elektron ditemukan pada posisi

tertentu dalam atom hidrogen. Hal ini dapat dilihat pada grafik masing-

masing keadaan , dan yang mana nilai simpangannya tidak ada yang

bernilai negatif. Seiring dengan meningkatnya bilangan kuantum utama

dengan bilangan kuantum orbital maka jarak dari nilai titik puncak

akan semakin menurun, namun nilai distribusi radial momentum akan

semakin meningkat yang menandakan bahwa kemungkinan ditemukannya

partikel semakin besar ditandai dengan meningkatnya nilai dari simpangan

distribusi radial momentum untuk tiap pada masing-masing keadaan

, dan

d. Simulasi/Pengambilan Data

Pada tahapan ini digunakan untuk menentukan solusi persamaan schrodinger

ion Helium ( ) dengan bilangan kuantum utama dalam

representasi ruang momentum dengan perhitungan secara analitik, kemudian

dilakukan perhitungan secara numerik menggunakan program komputer

(MATLAB).

e. Pembahasan

Hasil dari solusi persamaan schrodinger ion Helium ( ) dengan bilangan

kuantum utama dalam representasi ruang momentum akan dibahas

secara rinci pada tahapan ini.

f. Kesimpulan

Setelah dilakukan pembahasan, maka tahapan selanjutnya adalah

menyimpulkan hasil yang diperoleh untuk menjawab rumusan masalah dalam

penelitian.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

32

3.4 Data dan Sumber Data

Sumber data yang ada dalam penelitian ini diambil dari beberapa literatur

yang berkaitan dengan tujuan penelitian. Data yang dihasilkan pada penelitian ini

merupakan data primer yang diperoleh dari hasil perhitungan secara analitik untuk

mencari solusi persamaan schrodinger dan dibuat grafik distribusi momentum

secara numerik menggunakan program komputer berupa MATLAB. Flowchart

MATLAB digambarkan pada Gambar 3.5 berikut:

Gambar 3.5 Diagram langkah pemrograman komputer untuk menentukan

grafik distribusi momentum ion Helium ( ) dalam

representasi ruang momentum

Grafik

distribusi

momentum

Input

M-File Fungsi radial

momentum 𝐹𝑛𝑙 𝑝

Start

End

Program ploting

distribusi

momentum

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

33

3.5 Teori Hasil Pengembangan

a) Fungsi Radial Momentum ion Helium ( )

(

)

b) Fungsi Angular ion Helium ( )

c) Solusi Persamaan Schrodinger Ion Helium ( ) dalam Ruang Momentum

( )

d) Fungsi Distribusi Momentum

3.6 Tabel Data

Data dari hasil penelitian akan disajikan seperti Tabel 3.3 berikut ini:

Tabel 3.3 Tabel data untuk menentukan fungsi gelombang ion Helium ( )

Kulit

K 1 0 0

L 2 0 0

1 0

M 3

0 0

1 0

2

0

K = kulit pada bilangan kuantum 1

L = kulit pada bilangan kuantum 2

M = kulit pada bilangan kuantum 3

= bilangan kuantum utama

= bilangan kuantum orbital

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

34

= bilangan kuantum magnetik

= fungsi radial dalam representasi ruang momentum

= fungsi polar

= fungsi azimuth

( ) = solusi persamaan schrodinger atom berelektron tunggal dalam

representasi ruang momentum

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

44

BAB 5. PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil yang telah diperoleh, maka dapat diambil kesimpulan

bahwa solusi Persamaan Schrodinger Ion Helium pada bilangan kuantum

utama dalam representasi ruang momentum memiliki 14 fungsi gelombang

dengan 6 fungsi radial dan 14 fungsi angular. Dari grafik yang diperoleh dapat

diketahui bahwa seiring dengan meningkatnya bilangan kuantum utama

dengan bilangan kuantum orbital maka jarak dari nilai titik puncak akan

semakin menurun, tetapi nilai distribusi radial momentum akan semakin

meningkat. Apabila ditinjau dari masing-masing bilangan kuantum, untuk

keadaan bilangan kuantum jarak dari nilai titik puncak

semakin meningkat diikuti dengan nilai distribusi radial momentum yang

menurun, begitu juga untuk dapat terlihat bahwa jarak

dari nilai titik puncak juga meningkat dengan nilai distribusi radial momentum

yang turut menurun.

5.2 Saran

Dalam penelitian ini, yang dikaji yaitu solusi Persamaan Schrodinger

berupa fungsi gelombangnya saja. Diharapkan untuk peneliti selanjutnya dapat

menentukan nilai probabilitas, nilai ekspektasi, bahkan hingga spektrum energi.

Selain itu, diharapkan untuk peneliti selanjutnya dapat mengembangkan solusi

Persamaan Schrodinger pada atom berelektron tunggal ini dalam representasi

ruang yang lain, misalnya pada ruang fase untuk Ion Helium .

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

45

DAFTAR PUSTAKA

Azis, S. A. dan Z. Abdullah. 2015. Teknik Pemisahan Operator dan Pendekatan

Spektral sebagai Solusi Persamaan Schrodinger Bergantung Waktu pada

Atom Hidrogen. Jurnal Fisika Unand. 4(3): 255-262

Beiser, A. 2003. Concept of Modern Physics. Six Edition. United States of

America: Tata Mcgraw-Hill Companies, Inc.

Bethe, H. A., dan E.E.Salpeter. 1957. Quantum Mechanics of One and Two

Electron Atoms. New York: Academic Press Inc.

Fuadah, F., S.H.B. Prastowo., L. Nuraini. 2018. Solusi Persamaan Schrodinger

Atom Deuterium dengan Bilangan Kuantum . Prosiding Seminar

Nasional Pendidikan Sains 2018. 3(2): 142-147.

Ganesan, L. R., dan M. Balaji. 2008. Schrodinger Equation for the Hydrogen

Atom A Simplified Treatment. Journal of Chemistry. 5(3):659-662.

Gasiorowics, S. 1996. Quantum Physics Second Edition. United States of

America: John wiley & Sons, Inc.

Gautreau, W., dan W. Savin. 2006. Fisika Modern. Jakarta: Erlangga.

Griffith, D. J. 2005. Introduction to Quantum Mechanics. New York: Prentice

Hall, Inc.

Hampel, C.A. 1968. The Encyclopedia of the Chemical Elements. New York: Van

Nostrand Reinhold.

Hassan, M.H. 2008. On the Hydrogen Wave Function in Momentum-Space,

Clifford Algebra and the Generating Function of Gegenbauer Polynomial.

HAL archives-ouvertes.

Hermanto, W. 2016. Fungsi Gelombang Atom Deuterium dengan Pendekatan

Persamaan Schrodinger. Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Sains

2016: 794-802.

Hey, J.D. 1993. On the Momentum Representation of Hydrogenic Wave

Functions: Some Properties and Applications. American Journal of

Physics 61(1): 28-35.

Hiby, J.W. 1993. Massenspektrographische Untersuchungen an Wasserstoff- und

Heliumkanalstrahlen (H+3, H−2, HeH+, HeD

+, He

−). Annalen der Physik

426(5): 473-487.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

46

Idris-Bey, K., dan M. H. Al-Hashimi. 2018. Modelling of The Wave Function and

of the Energy States of Hydrogen Stored in a Spherical Cavity. Advances

in Science, Technology and Engineering Systems Journal. 3(2):157-163.

Kana’an, A.S., dan L.J. Margrave. 1964. Chemical Reactions in Electrical

Discharges. Advances in Inorganic Chemistry and Radiochemistry 6: 182-

183.

Krane, K. S. 2012. Modern Physics Third Edition.United States of America: John

Wiley & Sons, Inc.

Kurniawan, Y., dan M. Nur. 2005. Studi Pemodelan Dinamika Proton dalam

Ikatan Hidrogen H2O Padatan Satu Dimensi. Berkala Fisika 8(3): 107-

117.

Liboff, L. R. 2003. Introductory Quantum Mechanics Fourth Edition. United

State of America: Addison-Wesley.

Maulana, M. 2019. Solusi Lengkap Fungsi Gelombang Atom Hidrogen pada

Bilangan Kuantum Utama Tidak diterbitkan. Skripsi. Jember: FKIP

Universitas Jember.

Mavromatis, H. A. 1987. Exercise in Quantum Mechanics. Lebanon: Library of

Congress Cataloging in Publication Data.

Ohno, K. 2004. Quantum Chemistry. Tokyo: Iwanami Publishing Company.

Podolsky, B., dan L. Pauling. 1929. The Momentum Distribution in Hydrogen-

Like Atoms. Physical Review 34: 109-116.

Purwanto, A. 2016. Fisika Kuantum Edisi Kedua. Yogyakarta: Gava Media.

Ramadani. 2016. Struktur Atom dan Perkembangan Teori Atom. Jurnal Ilmu

Pendidikan.

Rioux, F. 1997. Quantum Fundamentals. New York: College of Saint

Benedict/Saint John’s University.

Siregar, R.E. 2010. Teori dan Aplikasi Fisika Kuantum. Bandung: Widya

Padjajaran.

Spake, J.J., D.K. Sing., T.M. Evans., V. Bourrier. 2018. Helium in the Eroding

Atmosphere of an Exoplanet. Journal of Nature 557(7703): 68-70.

Sudiarta, I. W. 2019. Mekanika Kuantum. Mataram: CV. Garuda Ilmu.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

47

Sugiyono, V. 2016. Mekanika Kuantum. Yogyakarta: CAPS (Center for

Academic Publishing Service).

Sukardjo. 2004. Kimia Fisika. Jakarta: PT. Rineka Cipta.

Suparmi, A., C. Cari, J. Handhika, C. Yanuarief, dan H. Marini. 2018.

Aproximate Solution of Schrodinger Equation for Modified Poschl-Teller

plus Trigonometric Rosen-Morse Non-Central Potentials in Terms of

Finite Romanovski Polynomials. Journal of Aplied Physics. 2(2):43-51.

Supriadi, B., S.H.B. Prastowo., S. Bahri, Z.R. Ridlo, dan T. Prihandono. 2018.

The Stark Effect on the Wave Function of Tritium Relativistic Condition.

Journal of Physics. IOP Publishing.

Wiyatmo, Y. 2008. Fisika Atom: Dalam Perspektif, Semiklasik dan Kuantum.

Bandung: Pustaka Pelajar.

Xiao, D., A.R. Organov., F. Alexnder. 2014. A Stable Compound of Helium and

Sodium at High Pressure. Journal of Nature Chemistry 9(5): 440-445.

Yusron, M., K.S. Firdausi., dan Sumariyah. 2007. Review Probabilitas

Menemukan Elektron dengan Fungsi Gelombang Simetri dan Antisimetri

pada Molekul . Jurnal Fisika. 10(1):7-12.

Zielinski, T. J., E. Harvey., R. Sweeney., dan D. M. Hanson. 2005. Quantum

States of Atoms and Molecules. Journal of Chemical Education 96(12):

2679-3044.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

48

Lampiran 1. Matriks Penelitian

LAMPIRAN

JUDUL TUJUAN PENELITIAN VARIABEL DATA DAN TEKNIK

PENGAMBILAN DATA

METODE

PENELITIAN

SOLUSI

PERSAMAAN

SCHRODINGER ION

HELIUM ( )

PADA BILANGAN

KUANTUM

DALAM

REPRESENTASI

RUANG

MOMENTUM

Untuk mengkaji solusi

Persamaan Schrodinger

ion Helium ( ) pada

bilangan kuantum utama

dalam representasi

ruang momentum

Variabel bebas:

1. Bilangan kuantum

Variabel kontrol:

1. Ion Helium ( ).

2. Persamaan Schrodinger.

Variabel terikat:

1. Solusi Persamaan

Schrodinger ion Helium

( ) pada bilangan

kuantum dalam

representasi ruang

momentum

1. Data: Primer.

2. Sumber Data: Buku

Mekanika Kuantum

dan Fisika Modern,

jurnal terkait.

3. Teknik Pengambilan

Data: Perhitungan

dilakukan secara

analitik (menggunakan

persamaan schrodinger)

dan dilakukan secara

numerik menggunakan

program komputer

(MATLAB)

Jenis

Penelitian:

Non

eksperimen

yaitu dengan

kajian teoritis

(study

literature).

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

49

Lampiran 2. Hasil Simulasi Fungsi Gelombang Ion Helium pada bilangan kuantum

Kulit ( )

K 1 0 0

L 2 0 0

1 0

1

-1

M 3

0

0 √

1

0

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

50

Kulit ( )

M

3

1

1

-1

2

0

1

-1

2

-2

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

51

Lampiran 3. Perhitungan Jari-Jari Atom Bohr

Berdasarkan study literature didapatkan data ketetapan sebagai berikut:

a. Konstanta Planck

b. Massa proton

c. Massa elektron

d. Massa neutron

e. Konstanta struktur halus

Jari-jari atom Bohr dapat dituliskan:

Untuk Ion Helium dengan dan menggunakan massa tereduksi

maka:

Dari data yang diperoleh dengan study literature, maka massa Ion Helium

yang didapatkan:

[ ]

Massa tereduksi:

Sehingga diperoleh jari-jari Ion Helium sebagai berikut:

( )

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

52

( )

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

53

Lampiran 4. Perhitungan Fungsi Radial

Bentuk umum fungsi radial:

(

)

Dengan polinomial gegenbauer sebagai berikut:

1.

Polinomial gegenbauer:

(

)

(

)

(

)

Maka:

*

+

(

)

*

+

(

)

*

+

(

)

2.

Polinomial gegenbauer:

(

)

(

)

(

)

(

)

Maka:

*

+

(

)

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

54

*

+

(

)

*

+

(

)

(

)

3.

Polinomial gegenbauer:

(

)

(

)

(

)

Maka:

*

+

(

)

*

+

(

)

*

+

4.

Polinomial gegenbauer:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )( ) ( )

( )

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

55

Maka:

*

+

(

)

*

+

5.

Polinomial Gegenbauer:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Maka:

*

+

(

)

*

+

(

)

*

+

(

)

(

)

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

56

6.

Polinomial Gegenbauer:

(

)

(

)

(

)

Maka:

*

+

(

)

*

+

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

57

Lampiran 5. Perhitungan Fungsi Legendre

Bentuk umum fungsi legendre:

(

)

1.

(

)

2.

(

)

3.

(

)

*

+

*

+

*

+

[ ]

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

58

Lampiran 6. Perhitungan Fungsi Legendre Terasosiasi

Bentuk umum fungsi legendre terasosiasi:

(

)

1.

(

)

2.

(

)

3.

(

)

`

4.

(

)

`

`

5.

(

)

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

59

6.

(

)

*

+

√ [ ]

7.

(

)

*

+

√ [ ]

8.

(

)

*

(

)+

*

+

9.

(

)

*

(

)+

*

+

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

60

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

61

Lampiran 7. Perhitungan Fungsi Polar

Bentuk umum fungsi polar:

1.

2.

3.

4.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

62

5.

6.

7.

8.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

63

`

9.

`

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

64

Lampiran 8. Perhitungan Fungsi Azimuth

Bentuk umum fungsi azimuth:

1.

2.

3.

4.

5.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

65

6.

7.

8.

9.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

66

Lampiran 9. Perhitungan Fungsi Angular

Bentuk umum fungsi angular:

1.

2.

3.

4.

5.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

67

6.

7.

8.

9.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

68

Lampiran 10. Perhitungan Fungsi Gelombang

Bentuk umum fungsi gelombang:

( )

1.

( )

2.

( )

3.

( )

4.

( )

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

69

5.

( )

6.

( )

7.

( )

8.

( )

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

70

9.

( )

10.

( )

11.

( )

12.

( )

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

71

13.

( )

14.

( )

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

72

Lampiran 11. Grafik Distribusi Radial Momentum Ion Helium pada

bilangan kuantum

Gambar 1. Hasil Gabungan Grafik Distribusi Radial Momentum Ion Helium

pada bilangan kuantum

Gambar 2. Hasil Grafik Distribusi Radial Momentum untuk

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

73

Gambar 3. Hasil Grafik Distribusi Radial Momentum untuk

Gambar 4. Hasil Grafik Distribusi Radial Momentum untuk

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

74

Gambar 5. Hasil Grafik Distribusi Radial Momentum untuk

Gambar 6. Hasil Grafik Distribusi Radial Momentum untuk

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

75

Gambar 7. Hasil Grafik Distribusi Radial Momentum untuk

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

76

Lampiran 12. Screenshoot Pemrograman MATLAB

Gambar 1. Tampilan M-File untuk membuat Grafik Distribusi Radial

Momentum untuk

Gambar 2. Tampilan M-File untuk membuat Grafik Distribusi Radial

Momentum untuk

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

77

Gambar 3. Tampilan M-File untuk membuat Grafik Distribusi Radial

Momentum untuk

Gambar 4. Tampilan M-File untuk membuat Grafik Distribusi Radial

Momentum untuk

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

78

Gambar 5. Tampilan M-File untuk membuat Grafik Distribusi Radial

Momentum untuk

Gambar 6. Tampilan M-File untuk membuat Grafik Distribusi Radial

Momentum untuk

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

79

Gambar 7. Tampilan M-File untuk membuat Grafik Gabungan Distribusi

Radial Momentum untuk

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember


Recommended