+ All documents
Home > Documents > MODUL PROGRAM LINEAR & MATRIKS - Universitas Jember

MODUL PROGRAM LINEAR & MATRIKS - Universitas Jember

Date post: 08-Jan-2023
Category:
Upload: khangminh22
View: 1 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
41
i Dr. Erfan Yudianto, S.Pd., M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER 2021 MODUL PROGRAM LINEAR & MATRIKS Digital Repository Universitas Jember Digital Repository Universitas Jember
Transcript

i

Dr. Erfan Yudianto, S.Pd., M.Pd.

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

2021

MODUL

PROGRAM LINEAR &

MATRIKS

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

ii

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang mana atas berkat dan rahmatnya

penyusun dapat menyelesaikan modul Program Linear & Matriks untuk mata kuliah

Matematika Dasar IPA dengan bobot 3 SKS, sebagai sarana untuk mendampingi

langkah-demi langkah konsep integral kepada mahasiswa termasuk ide-ide kreatif

yang mungkin muncul melalui masalah-masalah yang ada dalam modul ini.

Penyusun sangat sadar bahwa modul ini masih banyak sekali kekurangan. Oleh

karena itu penyusun sangat terbuka sekali bagi berbagai kritikan dan saran demi

perbaikan di masa yang akan datang.

Akhirnya penyusun mohon maaf atas segala kekurangan dan mengucapkan

banyak terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam penyusunan

modul ini.

Jember, September 2020

Dr. Erfan Yudianto, M.Pd.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ............................................................................................ ii

DAFTAR ISI .......................................................................................................... iii

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................. iv

BAB 1. PROGRAM LINEAR ................................................................................ 1

A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel ............................................... 1

B. Model Matematika ....................................................................................... 3

C. Nilai Maksimal Suatu Fungsi Tujuan (Objektif) ......................................... 5

1. Metode Uji Titik Pojok ............................................................................. 5

2. Metode Garis Selidik ................................................................................ 5

BAB 2. MATRIKS ............................................................................................... 12

A. Pengertian Matriks ..................................................................................... 12

B. Operasi Hitung Bilangan Bulat .................................................................. 15

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks ................................................. 15

2. Perkalian Bilangan Real dengan Matriks ............................................... 17

3. Perkalian Dua Matriks ............................................................................ 20

C. Determinan dan Invers Matriks .................................................................. 23

1. Determinan ............................................................................................. 23

2. Invers Matriks ......................................................................................... 24

D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear ................................. 31

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 37

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

iv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1 Grafik garis 42 =+ yx .......................................................................... 1

Gambar 2 Daerah penyelesaian 42 + yx ............................................................ 2

Gambar 3 Daerah penyelesaian yang memenuhi 03,4 −+ yxyx dan 0x .. 2

Gambar 4 Daerah penyelesaian yang memenuhi

0,624,42 +++ yxyxyx dan 0y . ......................................... 3

Gambar 5 Daerah penyelesaian yang memenuhi 862 + yx , 1−+− yx ,

0,0 yx ............................................................................................ 6

Gambar 6 Garis-garis selidik yang memenuhi 862 + yx , 1−+− yx ,

0,0 yx ............................................................................................ 9

Gambar 7 Garis-garis selidik yang memenuhi 150063 + yx , 104024 + yx ,

0,0 yx .......................................................................................... 10

Gambar 8 Daerah penyelesaian 6023 + yx dan 7243 + yx Error! Bookmark

not defined.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

1

BAB 1. PROGRAM LINEAR

A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Suatu persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk:

cyaxa =+ 21 . Apabila terdapat lebih dari satu persamaan, maka dinamakan

sistem persamaan linear. Untuk pertidaksamaan linear, tanda ""= diganti

dengan "","","","" .

Perhatikan garis 42 =+ yx di bawah ini :

Gambar 1. Grafik garis 42 =+ yx

Garis 42 =+ yx membagi bidang kartesius menjadi dua bagian, yaitu

daerah 42 + yx dan daerah 42 + yx . Subtitusikan sembarang titik,

misalkan titik )0,0(O ke persamaan garis 42 =+ yx sehingga didapat

4000 =+ . Hal ini menunjukkan bahwa titik )0,0(O berada pada daerah

42 + yx .

Daerah 42 + yx diarsir seperti pada gambar dibawah ini:

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

2

Gambar 2. Daerah penyelesaian 42 + yx

Contoh Soal

1. Gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan dengan

03,4 −+ yxyx dan 0x .

Jawab:

Gambar 3 Daerah penyelesaian yang memenuhi 03,4 −+ yxyx dan 0x

2. Gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan dengan

0,624,42 +++ yxyxyx dan 0y .

Jawab:

4+ yx 03 − yx

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

3

Gambar 4 Daerah penyelesaian yang memenuhi

0,624,42 +++ yxyxyx dan 0y .

B. Model Matematika

Model matematika merupakan cara sederhana menerjemahkan suatu

masalah sehari-hari ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan

persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.

Perhatikan contoh berikut. Sebuah perusahaan sandal akan memproduksi

sandal laki-laki dan perempuan. Proses pembuatan sandal laki-laki melalui dua

mesin, yaitu 3 menit pada mesin I dan 4 menit pada mesin II. Adapun proses

pembuatan sandal perempuan juga diproses melalui dua mesin, yaitu 6 menit

pada mesin I dan 2 menit pada mesin II. Mesin I dapat beroperasi selama 1500

menit per hari dan mesin II dapat beroperasi selama 1040 menit perhari. Untuk

mendapatkan keuntungan maksimal, perusahaan ini berencana untuk menjual

sandal laki-laki seharga 00,000.35Rp dan sandal perempuan seharga

00,000.45Rp . Berdasarkan keuntungan maksimal yang ingin dicapai, maka

perusahaan membuat model matematika untuk mengetahui berapa banyak

sandal laki-laki dan perempuan yang harus di produksi.

Perusahaan tersebut memisalkan sandal laki-laki dan perempuan sebagai x

dan y dimana x dan y adalah bilangan asli. Berdasarkan variabel x dan y

tersebut, perusahaan membuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut:

42 + yx

624 + yx

0+ yx

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

4

)1....(150063 + yx

)2....(104024 + yx

)3....(0,0 yx

Fungsi tujuan yang digunakan untuk memaksimalkan keuntungan adalah

yxyxf 000.45000.35),( += .

Contoh soal

1. Dina ingin membeli buku dengan harga 00,000.3.Rp per buah dan bulpen

dengan harga 00,000.2.Rp , per buah. Ia hanya membawa uang

00,000.65.Rp dan tas belanja yang ia bawa hanya mempunyai kapasitas

maksimal 25 barang untuk buku dan pulpen. Buatlah model matematika dari

permasalahan tersebut !

Jawab :

Misalkan buku sebagai x dan bulpen sebagai .y Berdasarkan variabel x

dan y dapat dibuat model matematika sebagai berikut:

)1....(6500020003000 + yx

)2....(30+ yx

)5....(,0,0 yx

2. Seorang pedagang buah menjual jeruk dengan harga 00,000.8.Rp per kg

dan apel dengan harga 00,000.10.Rp per kg. Modal yang dimiliki adalah

00,000.640.Rp dan keranjang buah hanya bisa menampung 35 kg buah.

Apabila dengan keuntugan dari penjualan setiap kg jeruk adalah

00,000.3.Rp dan apel 00,000.2.Rp pedagang tersebut ingin mendapatkan

keuntungan maksimum, tentukan model matematika dari permasalahan

tersebut!

Jawab:

Misalkan jeruk dan apel sebagai x dan. Berdasarkan variabel x dan y

tersebut, dapat dibuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut:

Buah Harga

Jeruk ( )x 8000

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

5

Apel ( )y 10.000

1 keranjang = 35 buah 640.000

)1....(640000100008000 + yx

)2....(35+ yx

)3....(0,0 yx

Fungsi tujuan yang digunakan untuk memaksimalkan keuntungan adalah

yxyxf 000.2000.3),( += .

C. Nilai Maksimal Suatu Fungsi Tujuan (Objektif)

1. Metode Uji Titik Pojok

Langkah-langkah menentukan nilai maksimal fungsi objektif dengan

metode uji titik pojok adalah sebagai berikut:

a. Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala yang telah dibuat

berdasarkan permasalahan yang ada.

b. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut

(perpotongan antara dua garis atau lebih).

c. Subtitusikan koordinat dari tiap-tiap titik pojok tersebut ke fungsi

objektif.

d. Nilai terbesar dari sungsi objektif menunjukkan nilai maksimum dan

nilai terkecil menunjukkan nilai minimum.

2. Metode Garis Selidik

Langkah-langkah menentukan nilai maksimal fungsi objektif dengan

metode garis selidik adalah sebagai berikut:

a. Buatlah model matematika dari permasalahan yang ada

b. Gambarlah grafik dan daerah penyelesaian

c. Tentukan persamaan garis selidik yakni berasal dari fungsi objektif (

,0,0, =+ bakbyax dan Rk )

d. Gambarlah garis selidik tersebut pada koordinat Cartesius.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

6

e. Nilai maksimum fungsi objektif adalah garis selidik yang mempunyai

jarak terbesar terhadap titik pusat dan nilai minimum fungsi objektif

adalah garis selidikyang mempunyai jarak terkecil terhadapa titik pusat.

Contoh soal

1. Tentukanlah nilai maksimum dan minimum dari fungsi tujuannya dengan

metode uji titik pojok dan nilai maksimum dengan metode garis selidik dari

sistem pertidaksamaan berikut.

yxyxf

yx

yx

yx

97),(

0,0

1

862

+=

−+−

+

Jawab:

Gambar 5. Daerah penyelesaian yang memenuhi 862 + yx , 1−+− yx ,

0,0 yx

a. Metode uji titik pojok

• Perpotongan garis 862 + yx dengan sumbu y−

Subtitusikan 0=x ke persamaan 862 + yx

862 + yx

1−+− yx

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

7

3

4

86

86)0(2

862

=→

=

=+

=+

y

y

y

yx

Jadi, perpotongan garis 862 + yx dengan sumbu y− adalah

3

4,0

• Perpotongan garis 1−+− yx dengan sumbu x

Subtitusikan 0=y ke persamaan 1−+− yx

1

10

1

=→

−=+−

−=+−

x

x

yx

Jadi, perpotongan garis 7+− yx dengan sumbu x− adalah ( )0,1

• Perpotongan garis 1−+− yx dengan garis 862 + yx

Dari 1−=+− yx didapat 1−= xy

Subtitusikan nilai 1−= xy ke persamaan 862 + yx

4

7

8

14

148

8662

8)1(62

862

=→

=

=

=−++

=−+

=+

x

x

x

xx

xx

yx

Subtitusikan nilai 4

7=x ke persamaan 1−= xy

4

3

14

7

1

=→

−=

−=

y

y

xy

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

8

Jadi, perpotongan garis 7+− yx dengan garis 862 + yx adalah

4

3,

4

7

• Uji titik pojok

( )yx, ( )yxf ,

( )0,0 0

3

4,0 12

( )0,1 7

4

3,

4

7 19

Berdasarkan tabel di atas diperoleh nilai maksimum dan minimum dari

fungsi objektif yxyxf 97),( += adalah 194

3,

4

7=

f dan

( ) 00,0 =f

b. Metode garis selidik

Garis selidik dari yxyxf 97),( += adalah kyx =+ 97

Ambil 5975 =+→= yxk

Ambil 109710 =+→= yxk

Ambil 199719 =+→= yxk

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

9

Gambar 6 Garis-garis selidik yang memenuhi 862 + yx , 1−+− yx ,

0,0 yx

Berdasarkan gambar di atas didapatkan bahwa garis selidik yang

menyebabkan nilai maksimum adalah 1997 =+ yx melalui titik

4

3,

4

7

.

2. Sebuah perusahaan sandal akan memproduksi sandal laki-laki dan

perempuan. Proses pembuatan sandal laki-laki melalui dua mesin, yaitu 3

menit pada mesin I dan 6 menit pada mesin II. Adapun proses pembuatan

sandal perempuan juga diproses melalui dua mesin, yaitu 4 menit pada

mesin I dan 2 menit pada mesin II. Mesin I dapat beroperasi selama 1500

menit per hari dan mesin II dapat beroperasi selama 1040 menit perhari.

Berapa banyak sandal laki-laki dan perempuan yang harus di produksi untuk

mencapai keuntungan maksimal jika perusahaan ini berencana untuk

menjual sandal laki-laki seharga 00,000.35.Rp dan sandal perempuan

seharga 00,000.45.Rp ?

Jawab:

1−+− yx

862 + yx

1997 =+ yx

1097 =+ yx

597 =+ yx

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

10

Perusahaan tersebut memisalkan sandal laki-laki dan perempuan sebagai x

dan y dimana x dan y adalah bilangan asli. Berdasarkan variabel x dan y

tersebut, perusahaan membuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut:

)1....(150063 + yx

)2....(104024 + yx

)3....(0,0 yx

Fungsi tujuan yang digunakan untuk memaksimalkan keuntungan adalah

yxyxf 000.45000.35),( += .

Garis selidik dari yxyxf 4500035000),( += adalah kyx =+ 97

Ambil 1500971500 =+→= yxk

Ambil 1980971980 =+→= yxk

Ambil 2700972700 =+→= yxk

Gambar 7 Garis-garis selidik yang memenuhi 150063 + yx , 104024 + yx ,

0,0 yx

104024 + yx

150063 + yx

270097 =+ yx

198097 =+ yx

150097 =+ yx

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

11

Berdasarkan gambar di atas didapatkan bahwa garis selidik yang

menyebakan nilai maksimum adalah 270097 =+ yx melalui titik

( )160,180 , sehingga sandal laki-laki dan perempuan yang harus

diproduksi adalah 180 buah dan 160 buah.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

12

BAB 2. MATRIKS

A. Pengertian Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi

panjang yang diatur menurut kolom dan baris dengan menggunakan kurung

siku/kurung biasa. Baris sebuah matriks merupakan susunan bilangan yang

mendatar dalam matriks dan kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan

yang tegak dalam matriks. Penamaan matriks menggunakan huruf kapital.

Secara umum, matriks berordo ji dengan i dan j adalah bilangan asli dapat

ditulis sebagai berikut:

=

ijii

ji

mmm

mmm

mmm

M

...

............

...

...

21

232221

131211

Jenis-jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks:

a. Matriks Baris

Matriks yang terdiri dari satu baris. Contoh: 321=M

b. Matriks Kolom

Matriks yang terdiri dari satu kolom. Contoh:

=

1

1

5

N

c. Matriks Persegi

Matriks yang mempunyai baris dan kolom sama banyak. Contoh:

=

43

21P

d. Matriks Nol

Matriks yang semua elemennya nol. Contoh:

Baris pertama

Baris kedua

Baris pertama

Baris ke i−

Kolom pertama

Kolom kedua

Kolom ke i−

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

13

=

000

000Q

e. Matriks Identitas

Matriks yang elemen diagonal-diagonal utamanya sama dengan 1,

sedangkan elemen-elemen lainnya adalah 0. Contoh:

=

100

010

001

I

f. Matriks Skalar

Matriks yang elemen diagonal-diagonal utamanya sama, sedangkan

elemen-elemen lainnya adalah 0. Contoh:

=

200

020

002

I

g. Matriks Diagonal

Matriks persegi yang elemen diluar diagonal utamanya bernilai 0, Contoh:

=

100

030

002

D

h. Matriks Segitiga Atas

Matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai

0. Contoh:

=

200

340

112

S

i. Matriks Segitiga Bawah

Matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai 0.

Contoh:

=

234

043

001

S

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

14

j. Transpose Matriks

Sebuah matriks yang cara penulisannya adalah dengan merubah baris ke

i− menjadi kolom ke i− dan sebaliknya. Contoh:

Jika

=

204

351

112

T , maka

=

231

051

412

'T

Adapun sifat-sifat matriks adalah sebagai berikut:

a. TTT BABA +=+ )(

b. AA TT =)(

Contoh soal

1. Diketahui matriks sebagai berikut:

=

3214

4332

2113

3221

T

Tentukanlah:

a. Banyaknya baris dan kolom

b. Elemen pada setiap baris dan kolom

c. Transpose matriks tersebut

Jawab:

a. Ada 4 baris dan 4 kolom

b. Baris pertama 3,2,1

Baris kedua 3,2,1

Baris ketiga 4,3,2

Baris keempat 4,3,2,1

Kolom pertama 4,3,2,1

Kolom kedua ,3,2,1

Kolom ketiga 3,2,1

Kolom keempat 4,3,2

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

15

c. Tranpose dari matriks T adalah

=

3423

2312

1312

4231

TT

2. Tentukanlah jenis matriks dari setiap matriks berikut:

a.

=

2

2

1

A b. 0000=B

c.

=

30

11C d.

=

300

221

141

D

Jawab:

a. Matriks kolom

b. Matriks baris dan matriks nol

c. Matriks persegi dan matriks segitiga atas

d. Matriks persegi

B. Operasi Hitung Bilangan Bulat

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Sani dan Tito mewakili sekolahnya untuk mengikuti lomba Cerdas Cermat

se-Kabupaten dalam peringatan Maulid Nabi Muhammad SAW. Lomba ini

terdiri dari dua babak yaitu tulis dan cepat tepat. Hasil lomba yang mereka ikuti

tampak pada tabel di bawah ini.

Nama Nilai tes

Nilai Total Tulis Cepat tepat

Sani 7 5 12

Tito 6 7 13

Penjumlahan nilai total tersebut dapat juga dilakukan dengan menggunakan

matriks, yaitu sebagai berikut.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

16

=

+

13

12

7

5

6

7

Kedua matriks yang dijumlahkan memiliki ordo yang sama. Matriks yang

dihasilkan adalah matriks yang berordo sama, yang elemennya merupakan

hasil penjumlahan dari elemen-elemen yang seletak.

Untuk pengurangan matriks juga dapat dilakukan jika ordo matriks yang

akan dikurangkan sama. Matriks yang dihasilkan adalah matriks yang berordo

sama, yang elemennya merupakan hasil pengurangan dari elemen-elemen yang

seletak.

Contoh Soal

1. Hasil penjumlahan dari dua matriks berikut adalah

=

+

12

13

35

42

Jawab:

=

++

++=

+

47

55

1325

1432

12

13

35

42

2. Diketahui matriks-matriks berikut.

−=

−=

−−=

523

411,

312

751,

132

134CBA

Tentukan matriks yang dihasilkan dari ( ) CBA −+ !

Jawab:

−+

−−=+

312

751

132

134BA

+++

+−+−−+=

311322

7153)1(4

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

17

=

444

623

( )

−−

=−+

523

411

444

623CBA

−−−

−−−−=

542434

46)1(213

−=

121

222

Jadi, ( )

−=−+

121

222CBA .

2. Perkalian Bilangan Real dengan Matriks

Setelah mempelajari penjumlahan dua dan tiga matriks. Sekarang lakukan

penjumlahan matriks A berordo ji secara berulang sebanyak n kali.

=

ijii

j

j

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

maka:

++

+

=+++

ijii

j

j

ijii

j

j

ijii

j

j

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

AAA

21

22221

11211

21

22221

11211

21

22221

11211

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

18

+++++++++

+++++++++

+++++++++

=

n

ijijij

n

iii

n

iii

n

jjj

nn

n

jjj

nn

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

nA

222111

222222222212121

111121212111111

=

ijii

j

j

nanana

nanana

nanana

nA

21

22221

11211

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa jika A sebuah matriks dan n

bilangan real maka hasil kali nA adalah matriks yang diperoleh dengan

mengalikan masing-masing elemen matriks A dengan .n

Contoh soal

Diketahui matriks-matriks berikut.

−=

23

41

12

X dan

=

52

31

24

Y

Tentukanlah:

a. X3

b. Y2

c. YX 23 −

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

19

Jawab:

a.

−=

23

41

12

33X

=

2333

43)1(3

1323

−=

69

123

36

Jadi,

−=

69

123

36

3X

b.

=

52

31

24

22Y

=

5222

3212

2242

=

104

62

48

Jadi,

=

104

62

48

2Y

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

20

c.

−=−

104

62

48

69

123

36

23 YX

−−

−−−

−−

=

10649

61223

4386

=

45

65

12

Jadi,

=−

45

65

12

23 YX

3. Perkalian Dua Matriks

Apakah kalian pernah bermain domino? Bagaimanakah memasang kartu-

kartu dalam permainan domino? Agar selembar kartu domino dapat

dipasangkan dengan kartu domino lain, jumlah mata bagian kanan kartu

tersebut harus sama dengan jumlah mata bagian kiri kartu pasangannya.

Prinsip pemasangan kartu domino ini dapat kita gunakan untuk memahami

perkalian dua matriks, yaitu sebuah matriks A dapat dikalikan dengan matriks

B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks .B

Elemen-elemen matriks hasil kali ini adalah jumlah dari hasil kali elemen-

elemen pada baris matriks A dengan elemen-elemen pada kolom matriks .B

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

21

nmnppm CBA =

=

dc

baA dan

=

hg

feB

++

++=

=

dhcfdgce

bhafbgae

hg

fe

dc

baBA

Contoh soal

Diketahui matriks-matriks berikut.

=

−−

−=

=

23

12

21

,123

241,

43

52ZYX

Tentukanlah:

a. XY

b. YZ

Jawab:

a.

−−

=

123

241

43

52XY

−+−+−+

−+−+−+=

)1(4)2(32443)3(413

)1(5)2(22542)3(512

−−

−−=

10209

91813

Jadi,

−−

−−=

10209

91813XY

b.

−−

−=

23

12

21

123

241YZ

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

22

−++−−++−

−++−++=

2)1(12233)1(2213

2)2(14213)2(2411

−−=

62

23

Jadi,

−−=

62

23YZ

Adapun sifat-sifat operasi hitung matriks yaitu sebagai berikut.

Jika setiap matriks berikut dapat dioperasikan dimana a adalah konstanta,

maka berlaku sifat-sifat berikut.

• PQQP +=+

• ( ) ( )RQPRQP ++=++

• ( ) PRPQRQP +=+

• ( ) QRPRRQP +=+

• ( ) PRPQRQP −=−

• ( ) QRPRRQP −=−

• ( ) aQaPQPa +=+

• ( ) aQaPQPa −=−

• ( ) bPaPPba +=+

• ( ) bPaPPba −=−

• ( ) ( )bPaPab =

• ( ) ( ) ( )aQPQaPPQa ==

• ( ) ( )QRPRPQ =

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

23

C. Determinan dan Invers Matriks

1. Determinan

Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang

disebut determinan. Determinan dari matriks persegi A dinotasikan dengan

.A

Untuk matriks A berordo 22 , determinan matriks A didefinisikan

sebagai berikut.

Jika

=

dc

baA , maka determinan matriks A adalah .bcad

dc

baA −==

Untuk matriks B berordo 33 , dengan menggunakan kaidah Sarrus

determinan matriks B didefinisikan sebagai berikut.

Jika

=

ihg

fed

cba

B , maka determinan matriks B adalah

bdiafhcegcdhbfgaei

hg

ed

ba

ihg

fed

cba

B −−−++==

Contoh soal

Diketahui matriks

=

27

14U dan

−−=

521

312

243

V

Tentukanlah:

a. U

b. V

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

24

Jawab.

a. 178712427

14=−=−==U

Jadi, .1=U

b.

21

12

43

521

312

243

−−−−=V

( ) ( ) ( ) ( ) 524233112222134513 −−−−−−++−=

4018281215 +−+−+−=

13=

Jadi, .13=V

2. Invers Matriks

Matriks persegi A mempunyai invers, jika ada matriks B sedemikian

hingga nnIBAAB == dengan I matriks identitas. Pada persamaan

nnIBAAB == , A dan B disebut saling invers. Syarat-syarat matriks A

mempunyai invers sebagai berikut.

• Jika ,0=A maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh karena itu,

dikatakan matriks A sebagai matriks singular.

• Jika ,0A maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena itu,

dikatakan matriks A sebagai matriks nonsingular.

Contoh soal

Tunjukkan bahwa

=

35

47A dan

−=

75

43B saling invers!

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

25

Jawab:

Untuk membuktikan kedua matriks tersebut saling invers, kita harus

membuktikan bahwa .22== IBAAB

( ) ( )

( ) ( )

=

+−−+

+−−+=

=

10

01

73455335

74475437

75

43

35

47AB

( ) ( )

( ) ( )

=

+−+−

−+−+=

−=

10

01

37455775

34435473

35

47

75

43BA

Dari perhitungan di atas, didapat bahwa

==

10

01BAAB dimana

2210

01=

I sehingga didapat .22== IBAAB Jadi, dapat dikatakan bahwa

A dan B saling invers.

Untuk matriks

=

dc

baA berordo 22 ini, kita dapat menentukan

inversnya sebagai berikut.

AAdjA

A =−

det

11

−=

ac

bd

bcad

1

Untuk menentukan invers suatu matriks dengan ordo 33 , kita harus

memahami tentang matriks minor, kofaktor, dan adjoint.

a. Matriks Minor

Matriks minor ijM diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-

elemen pada baris ke- i dan kolom ke- j matriks A berordo 33 ,

sehingga didapat matriks baru dengan ordo .22 Determinan dari matriks

tersebut disebut minor dari determinan matriks ,A ditulis dengan .ijM

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

26

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Minor-minor dari matriks A adalah sebagai berikut.

3332

2322

11aa

aaM =

3332

1312

21aa

aaM =

2322

1312

31aa

aaM =

3331

2321

12aa

aaM =

3331

1311

22aa

aaM =

2321

1311

32aa

aaM =

3231

2221

13aa

aaM =

3231

1211

23aa

aaM =

2221

1211

33aa

aaM =

b. Kofaktor

Kofaktor dari baris ke- i dan kolom ke- j dituliskan dengan .ijA Untuk

menentukannya ditentukan dengan rumus ( ) ij

ji

ij MA+

−= 1 .

Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah sebagai berikut.

( ) 1111

11

11 1 MMA =−=+

( ) 1212

21

12 1 MMA −=−=+

( ) 1313

31

13 1 MMA =−=+

( ) 2121

12

21 1 MMA −=−=+

( ) 2222

22

22 1 MMA =−=+

( ) 2323

32

23 1 MMA −=−=+

( ) 3131

13

31 1 MMA =−=+

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

27

( ) 3232

23

32 1 MMA −=−=+

( ) 3333

33

33 1 MMA =−=+

c. Adjoint

Misalkan suatu matriks A berordo nn dengan ijA kofaktor dari

matriks A , maka

Adjoint ( )

=

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AAdjA

21

22212

12111

Untuk matriks A berordo ,33 maka

=

332313

322212

312111

AAA

AAA

AAA

AAdj

Untuk menentukan determinan dari matriks berordo ,33 selain dengan

kaidah Sarrus, dapat juga digunakan matriks minor dan kofaktor.

Misalkan matriks

=

332313

322212

312111

AAA

AAA

AAA

A

Determinan matriks ( )AA det dapat ditentukan menggunakan rumus:

(i) 131312121111 AaAaAaA ++=

131312121111 MaMaMa +−=

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa +−=

(ii) 232322222121 AaAaAaA ++=

232322222121 MaMaMa −+−=

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

28

3231

1211

23

3331

1311

22

3332

1312

21aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa −+−=

(iii) 333332323131 AaAaAaA ++=

333332323131 MaMaMa +−=

2221

1211

33

2321

1311

32

2322

1312

31aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa +−=

Contoh soal

1. Diketahui matriks

=

312

223

134

S .

Tentukan:

a. Determinan

b. Invers

Jawab:

a. Kita dapat menggunakan salah satu dari ketiga rumus di atas untuk

menentukan determinan matriks .S

131312121111 AaAaAaS ++=

12

231

32

233

31

224 +−=

( ) ( ) ( )431493264 −+−−−=

11516 −−=

0=

b. Karena determinan dari matriks S adalah ,0 maka matriks S tidak

mempunyai invers. Sehingga matriks S merupakan matriks singular.

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

29

2. Tentukan invers dari matriks berikut!

−−=

13

24W dan

=

231

112

311

Z

Jawab:

WAdjW

W =−

det

11

( ) ( )

−−

−−−=

43

21

3214

1

−−=

43

21

2

1

−−

=

22

3

12

1

Jadi,

−−

=−

22

3

12

1

1W

=

231

112

311

Z

31

12

11

231

112

311

=Z

4331812 −−−++=

11=

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

30

13223

1111 −=−==Z

( ) 31421

1212 −=−−=−=Z

51631

1213 =−==Z

( ) 19623

3121 −=−−=−=Z

13221

3122 −=−==Z

( ) 21331

1123 −=−−=−=Z

23111

3131 −=−==Z

( ) 56112

3132 =−−=−=Z

12112

1133 −=−==Z

−−

−−

−−−

=

125

513

211

ZAdj

−−

−−

−−−

=

−−

−−

−−−

==−

11

1

11

2

11

511

5

11

1

11

311

2

11

1

11

1

11

125

513

211

1

Z

ZAdjZ

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

31

Jadi,

−−

−−

−−−

=−

11

1

11

2

11

511

5

11

1

11

311

2

11

1

11

1

1Z

D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear

Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang penyelesaian sistem persamaan

linear dengan menggunakan metode grafik, metode eliminasi, dan metode

substitusi. Pada bab ini, kita akan menyelesaikan sistem persamaan linear

tersebut dengan menggunakan matriks.

Misalkan, sistem persamaan linear berikut.

ebyax =+

fdycx =+

Sistem persamaan linear tersebut dapat kita tuliskan dalam persamaan

matriks berikut.

=

f

e

y

x

dc

ba

Persamaan matriks ini dapat kita selesaikan dengan menggunakan sifat berikut.

1. Jika ,BAX = maka ,1BAX −= dengan 0A

2. Jika ,ABX = maka 1−= BAX dengan 0A

Contoh soal

Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut!

1. 425 =− yx dan 842 =+ yx

2. 12,23,32 −=++=+−=−+ zyxzyxzyx

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

32

Jawab:

1. Ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi persamaan matriks seperti

berikut.

=

8

4

42

25

y

x

Selanjutnya, tentukan determinan matriks ,A yaitu:

( ) 2442042

25=−−=

−=A

Penyelesaian sistem persamaan linear tersebut dapat kita tentukan dengan cara

berikut.

−=−

52

24

24

11A

=

−=

3

43

4

8

4

52

24

24

1

y

x

Jadi, 3

4=x dan .

3

4=y

2. 12,23,32 −=++=+−=−+ zyxzyxzyx

Ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi persamaan matriks seperti

berikut.

=

1

2

3

112

113

121

z

y

x

Selanjutnya, tentukan determinan matriks ,A yaitu:

A X B

X 1−A B

A X B

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

33

12

13

21

112

113

121

−−

=A

( ) 612341 −−−−++−=

9−=

Invers dari matriks ,A yaitu:

21111

1111 −=−−=

−=A

( ) 12312

1312 −=−−=−=A

( ) 52312

1313 =−−=

−=A

( )( ) 31211

1221 −=−−−=

−−=A

( ) 32112

1122 =−−=

−=A

( ) 34112

2123 =−−=−=A

11211

1231 =−=

−=A

( )( ) 43113

1132 −=−−−=

−−=A

76113

2133 −=−−=

−=A

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

34

−−

−−

=

735

431

132

AAdj

−−

=−

−−

−−

==−

9

7

3

1

9

59

4

3

1

9

19

1

3

1

9

2

9

735

431

132

1

A

AAdjA

Penyelesaian sistem persamaan linear tersebut dapat kita tentukan dengan cara

berikut.

−=

−−

=

9

289

79

13

1

2

3

9

7

3

1

9

59

4

3

1

9

19

1

3

1

9

2

z

y

x

Jadi, ,9

7,

9

13−== yx dan .

9

28−=z

Selain dengan cara di atas, sistem persamaan linear dapat juga

diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer berikut.

Jika ,BAX = maka A

Ax

A

Ax

A

Ax

j

j === ,,,2

2

1

1 .

jA adalah matriks yang didapat dengan mengganti elemen-elemen pada

kolom- j dari matriks A dengan elemen-elemen matriks .B

Contoh soal

Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan aturan

Cramer!

1. 425 =− yx dan 842 =+ yx

X 1−A B

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

35

2. 12,23,32 −=++=+−=−+ zyxzyxzyx

Jawab:

1. Tentukan 21 ,, AAA terlebih dahulu.

( ) 2442042

25=−−=

−=A

( ) 32161648

241 =−−=

−=A

3284082

452 =−==A

3

4

24

321===

A

Ax

3

4

24

322===

A

Ay

Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah 3

4=x dan .

3

4=y

2. Ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi persamaan matriks seperti

berikut.

=

1

2

3

112

113

121

z

y

x

Tentukan 321 ,,, AAAA terlebih dahulu.

9612341

12

13

21

112

113

121

−=−−−−+−=−−

=A

A X B

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

36

13431223

11

12

23

111

112

123

1 −=−−+−−−=

=A

7914362

12

23

31

112

123

131

2 =−++++=

−−

=A

28626981

12

13

21

112

213

321

3 =+−+++=−

−=A

9

13

9

131=

−==

A

Ax

9

7

9

72−=

−==

A

Ay

9

28

9

283−=

−==

A

Az

Jadi, ,9

7,

9

13−== yx dan .

9

28−=z

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember

37

DAFTAR PUSTAKA

Courant, R., Robbins, H., & Stewart, I. (1996). What is mathematics?: an

elementary approach to ideas and methods. In American Mathematical

Monthly. https://doi.org/10.1038/150673a0

Crane, K., & Wardetzky, M. (2017). A Glimpse into Discrete Differential

Geometry. Notices of the American Mathematical Society.

https://doi.org/10.1090/noti1578

Mutakin, T. Z. (2013). Analisis kesulitan belajar kalkulus I mahasiswa teknik

informatika. Jurnal Formatif, 3(1), 49–60.

Purcell, E. J., Rigdon, S. E., & Varberg, D. (2003). Calculus (8th ed.). Prentice-

Hall, Inc.

Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2004). Kalkulus (H. W. Hardani &

Santika (Eds.); Delapan). Erlangga.

Thomas, G., Weir, M., & Hass, J. (2009). Thomas’ Calculus. In

Math.Utoledo.Edu. https://doi.org/10.1073/pnas.0703993104

Digital Repository Universitas JemberDigital Repository Universitas Jember


Recommended